两个不同大小的排序数组的中位数

在计算机科学和统计学中，中位数是一组数据中的中间值。也就是说，当数据按升序或降序排列后，位于中间位置的数值。如果数据集中的元素数量是奇数，则中位数是最中间的那个数；如果数据集中的元素数量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。

本篇文章介绍如何求解两个不同大小的排序数组的中位数。

方法一：暴力法

最简单的方法是将两个有序数组合并为一个有序数组，然后找到中间的元素。但是这种方法的时间复杂度为O(n),不符合要求。

方法二：分治法

分治法是一种递归的算法，将一个问题分成两个或更多的子问题，然后将子问题分成更小的子问题，直到问题的规模小到可以被直接解决。最后将子问题的解组合起来，得到原问题的解。

我们可以将问题转化为在两个有序数组中搜索第k小的元素。假设两个有序数组分别为A和B，数组长度分别为m和n。我们要找到第k小的元素，其中k为m+n的中间数。

1. 找到k/2位置的元素

为了在A和B中搜索第k小的元素，我们可以每次排除掉k/2个元素。比较A[k/2-1]和B[k/2-1]的大小，如果A[k/2-1]小于B[k/2-1]，那么可以肯定的是A[0]到A[k/2-1]都不可能是第k小的元素，因为这些元素已经排除掉了。因此，我们可以把数组A的前k/2个元素删掉，继续在剩下的元素中搜索第k-k/2小的元素；反之，可以把数组B的前k/2个元素删掉，继续在剩下的元素中搜索第k-k/2小的元素。

2. 递归搜索

通过不断地缩小问题的规模，可以使用递归的方法解决问题。当k=1时，两个数组中最小的元素是第k小的元素，比较A[0]和B[0]的大小即可；当一个数组为空时，第k小的元素一定在另一个数组中，直接返回即可。

代码实现

以下是python的实现代码：

    class Solution:
        def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
            m, n = len(nums1), len(nums2)
            if m > n:
                nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m
            if n == 0:
                raise ValueError
            i_min, i_max, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
            while i_min <= i_max:
                i = (i_min + i_max) // 2
                j = half_len - i
                if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
                    i_min = i + 1
                elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
                    i_max = i - 1
                else:
                    if i == 0:
                        max_of_left = nums2[j-1]
                    elif j == 0:
                        max_of_left = nums1[i-1]
                    else:
                        max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
                    if (m + n) % 2 == 1:
                        return max_of_left
                    if i == m:
                        min_of_right = nums2[j]
                    elif j == n:
                        min_of_right = nums1[i]
                    else:
                        min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])
                    return (max_of_left + min_of_right) / 2.0

代码需要特别注意边界条件。对于空数组和数组长度不等的情况，需要进行特判。