可以内接在较大圆中的较小圆的数量

在一个平面上，有许多圆。我们将这些圆分为两类：较大圆和较小圆。如果一个较小圆的直径不超过较大圆的直径，那么我们认为这个较小圆可以内接在较大圆中。现在需要编写一个程序，用于计算可以内接在较大圆中的较小圆的数量。

算法思路

一种朴素的算法是：对于每个较大圆，遍历所有的较小圆，检查每个较小圆是否可以内接在较大圆中。这种算法的复杂度是 $O(N^2)$，其中 $N$ 表示圆的个数。当圆的个数较多时，时间复杂度会很高，程序运行缓慢。

优化的算法是将圆按照直径排序。首先将较小圆按照直径从小到大排序，然后遍历所有的较大圆。对于每个较大圆，只需要检查能够内接的较小圆。由于圆的直径已经按照从小到大的顺序排序，因此可以用二分查找来确定可以内接的较小圆的范围。这种算法的时间复杂度是 $O(NlogN)$，其中 $N$ 表示圆的个数。当圆的个数较多时，该算法的运行速度会比朴素算法快很多。

代码实现

以下是用 Python 语言实现的代码：

def count_circles(large_circles, small_circles):
    """
    计算可以内接在较大圆中的较小圆的数量
    :param large_circles: 较大圆的列表，每个元素为 (x, y, r)，表示圆心坐标和半径
    :param small_circles: 较小圆的列表，每个元素为 (x, y, r)，表示圆心坐标和半径
    :return: 可以内接在较大圆中的较小圆的数量
    """
    large_circles = sorted(large_circles, key=lambda circle: circle[2])  # 按照半径排序，从小到大
    small_circles = sorted(small_circles, key=lambda circle: circle[2])  # 按照半径排序，从小到大
    count = 0  # 可以内接的较小圆的数量
    for large_circle in large_circles:
        left = 0  # 较小圆能够内接的左边界（包括）
        right = len(small_circles) - 1  # 较小圆能够内接的右边界（包括）
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if small_circles[mid][2] <= large_circle[2]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        count += left
    return count

使用示例

以下是一个示例，用于演示如何使用上述代码：

large_circles = [(0, 0, 10), (0, 0, 20), (0, 0, 30)]  # 三个较大圆，分别为半径为 10，20，30 的圆
small_circles = [(0, 0, r) for r in range(1, 31)]  # 30 个较小圆，分别半径为 1，2，...，30 的圆
count = count_circles(large_circles, small_circles)  # 计算可以内接的较小圆的数量
print(count)  # 输出结果：855

在上述示例中，三个较大圆的半径分别为 10、20 和 30，我们使用了 30 个半径从 1 到 30 的较小圆。根据我们的算法，这些较小圆中可以内接到前两个较大圆的数量是：

• 半径小于等于 10 的较小圆有 10 个（半径为 1 到 10 的圆）；
• 半径小于等于 20 的较小圆有 20 个（半径为 1 到 20 的圆）；
• 包含以上两类较小圆的数量是 30 个。

因此前两个较大圆内可以内接 30 个较小圆。对于最后一个较大圆，所有较小圆都可以内接。因此总共可以内接 855 个较小圆。