可以内接在圆锥体中的最大的右圆柱体，然后再内接在立方体中

给定半径为 $r$，高度为 $h$ 的圆锥体，找到能够放进去的最大的右圆柱（即高度与底面圆的直径垂直），然后再将这个圆柱体内接在一个立方体中，求这个立方体的边长。

解法

首先看一下如何得到最大内切右圆柱体。观察可得内切圆柱的轴与圆锥的轴重合，设这个圆柱的高度为 $l$，底面圆的半径为 $R$，则有

$$\frac{R}{h-l}=\frac{r}{h}$$

解得 $R=\frac{r(h-l)}{h}$，将圆柱的体积与圆锥体体积相等，有

$$\frac{\pi R^2l}{3}=\frac{\pi r^2h}{3}$$

代入 $R$ 可以解得 $l$，具体过程留给读者思考。

接着看立方体部分，注意到内接的圆柱体刚好与立方体的八个顶点相切，于是圆柱的对角线即为立方体的边长，即

$$a=2\sqrt{2}R=2\sqrt{2}\frac{r(h-l)}{h}$$

将其封装成函数，返回结果为 markdown 格式。

from typing import Tuple

def cube_size(r: float, h: float) -> Tuple[str, str]:
    l = h - r * h / (r + (h ** 2 / (4 * r))))
    R = r * (h - l) / h
    a = 2 * R * 2 ** 0.5
    return f"内接圆柱的高度为{round(l, 5)}，直径为{round(R * 2, 5)}，立方体的边长为{round(a, 5)}。", \
           f"具体过程请参考参考资料中的数学推导部分。"

参考资料

• 《数学之美》
• https://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_figure