使用行主映射存储下三角矩阵的有效方法

下三角矩阵是一种非常特殊的矩阵，因为它的上三角部分全部都是 0。对于一个 $n \times n$ 的下三角矩阵，我们只需要存储其中的非 0 元素。通常使用行主映射存储方法（Row-major Mapping）存储下三角矩阵。

矩阵和行主映射

矩阵是一个很重要的数学概念，它是有 $m$ 行和 $n$ 列的矩形数组。我们通常用 $A_{ij}$ 表示在第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。下面给出一个 3x3 的矩阵示例：

$$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ \end{bmatrix} $$

有时候我们需要存储一个稀疏矩阵，即大部分元素都是 0 的矩阵。其中，在一个下三角矩阵 $A$ 中，每个非零元素 $a_{ij}$ 的条件为 $i \geq j$。

我们可以使用行主映射来存储一个下三角矩阵。行主映射是一种将一个二维数组映射到一维数组的方法。具体来说，对于一个 $n \times m$ 的矩阵，我们将其表示为一个长度为 $n \times m$ 的一维数组 $A$。然后，我们可以使用以下公式将 $A_{ij}$ 映射到一维数组 $A$：

$$ A[i \times m + j] $$

因此，在下三角矩阵中，对于 $i \geq j$ 的元素 $a_{ij}$，它的位置在一维数组 $A$ 中的索引为 $i \times (i+1)/2 + j$。

实现

下面是使用行主映射存储下三角矩阵的实现代码：

#include <iostream>
using namespace std;

class LowerTriangle {
private:
    int *A;
    int size;

public:
    LowerTriangle(int n) {
        size = n * (n + 1) / 2;
        A = new int[size];
    }

    ~LowerTriangle() {
        delete[] A;
    }

    void set(int i, int j, int x);
    int get(int i, int j);
    void display();
};

void LowerTriangle::set(int i, int j, int x) {
    if (i >= j) {
        A[i * (i + 1) / 2 + j] = x;
    }
}

int LowerTriangle::get(int i, int j) {
    if (i >= j) {
        return A[i * (i + 1) / 2 + j];
    } else {
        return 0;
    }
}

void LowerTriangle::display() {
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        cout << A[i] << " ";
    }
}

int main() {
    LowerTriangle LT(3);
    LT.set(0, 0, 1);
    LT.set(1, 0, 2);
    LT.set(1, 1, 3);
    LT.set(2, 0, 4);
    LT.set(2, 1, 5);
    LT.set(2, 2, 6);
    LT.display();
    return 0;
}

在这个实现中，我们定义了一个 LowerTriangle 类，它使用行主映射存储下三角矩阵。set() 方法用来设置矩阵中的元素，get() 方法用来获取矩阵中的元素，display() 方法用来显示二维矩阵。

总结

行主映射是一种非常有效的方法来存储下三角矩阵。我们只需要存储其中的非零元素，而且可以使用一维数组进行存储。这种方法可以节省存储空间，并且可以使我们更好地理解稀疏矩阵的存储。