📜  最小瓶颈生成树(MBST)

📅  最后修改于: 2021-04-17 09:28:11             🧑  作者: Mango

无向图中的最小瓶颈生成树是其最昂贵的边尽可能最小的树。在本文中,我们将更多地了解如何识别最小瓶颈生成树,并了解每个最小生成树都是最小瓶颈生成树。

最小生成树与最小瓶颈生成树完全不同。生成树中的瓶颈是该树中存在的最大权重边。同一棵生成树可能存在许多瓶颈。让我们通过以下示例来了解这一点:

示例1:让给定的图形为G。让我们找到所有可能的生成树。

对于给定的图G,上图说明了给定图的所有生成树。在所有的生成树中,最小的生成树是权重为8的树。由于所有生成树的瓶颈边缘值都相同,因此所有生成树都是给定图的最小瓶颈生成树。但是,它们都不是最小的生成树,因为仅对于这两个生成树而言,总权重为minimum(8)。

示例2:让给定的图为G。让我们找到所有可能的生成树。

对于给定的图G,上图说明了给定图的所有生成树。在生成树中,最小生成树是权重为3的树。最小瓶颈生成树是瓶颈边缘权重为3的树。这里,最小生成树是最小瓶颈生成树,但不是所有最小瓶颈生成树不是最小生成树。

证明每个最小生成树都是最小瓶颈生成树:假设T是图G(V,E)的最小生成树,而T’是它的最小瓶颈生成树。考虑T和T’的最大重量边缘(瓶颈边缘)。然后,可能出现三种情况:

  1. 情况1:如果两条边恰好是同一条边。然后,T是最小瓶颈生成树(即),由于G的任意选择,每个MST都是MBST。
  2. 情况2:如果两个边缘碰巧是不同的边缘,则T’的权重大于T中的最大加权边缘是不可能的,因为T’是MBST。
  3. 情况3:假设T的最大权重边(p,q)的权重大于瓶颈生成树T’的权重。然后:
    • 令X为T中V的顶点的子集,它可以从p到达而无需经过q。
    • 类似地,令Y为T中V的顶点的子集,它可以从q到达而无需经过p。
    • 由于G是一个连通图,因此X和Y之间应该有一个切边。唯一可以在此切边上添加的边是最小权重之一。
    • 但是,通过定义X和Y的方式,我们知道(p,q)是最小重量的唯一可能的刀沿。
    • 但是,我们有一个瓶颈,生成树T’的权重小于w(p,q)。
    • 这是一个矛盾,因为瓶颈生成树本身就是一棵生成树,并且在此切口上必须有一条边。并且,它的权重将小于w(p,q)。
    • 因此,假设是错误的,唯一的可能性是T和T’的最大重量边缘(瓶颈边缘)相同。
    • 然后,通过案例1,证明已经完成,因此表明每个MST都是MBST。