质心运动

质心是任何刚体系统的重要属性。通常，这些系统包含不止一种粒子。将这些系统作为一个整体进行分析变得至关重要。为了进行力学计算，这些物体必须被视为一个单点质量。质心表示这样一个点。通常，机械系统以短暂或旋转的方式移动。在这种情况下，质心也会移动并获得一些速度和加速度。让我们看看如何详细计算此类系统的这些指标。

质量中心

如果假设物体的质量位于某一特定点，则可以简化很多问题。如果选择了正确的位置，则力方程和运动方程的行为方式与它们在质量分散时的行为方式相同。这个特殊的位置被称为质量中心。

它的位置是相对于要计算其质心的对象或对象系统定义的。通常对于统一的形状，它是它们的质心。对于对称且均匀的形状，它们的质心位于它们的质心。对于环来说，它的质心位于环内，这意味着物体的质心不必位于物体本身。

寻找质心

现在，很明显，均匀对称的物体的质心位于质心。但对于不对称和不均匀的物体，答案并不那么简单。这种物体的质心可以在任何地方。计算复杂物体的质心。取每个身体质量的位置的加权平均值。

Let’s say there is a body consisting of a set of masses “m_i“, each at position r_i, the location of the Center of mass r_cm is given by the formula below. 

Mr_cm = m₁r₁ + m₂r₂ + …. 

⇒ r_cm = $\frac{ m_1r_1 + m_2r_2 + ...}{M}$

In this case, M =$\sum m_i$, which is the total mass of the body. 

上述技术使用矢量算术。为了避免矢量算术，我们可以分别沿 x 轴和 y 轴找出物体的质心。这种情况的公式如下：

x_厘米= $\frac{ m_1x_1 + m_2x_2 + ...}{M}$

y_厘米= $\frac{ m_1y_1 + m_2y_2 + ...}{M}$

重心

通常，假设重力是作用在物体上的均匀力。重心是假设重力作用在身体上的点。因此，重心与质心位于同一位置。在物理学文献中，重心和质心这两个术语可以互换使用。他们的意思是一样的。

质心运动

考虑一个多粒子系统。该系统的每个粒子都以不同的速度移动。有人如何为整个系统分配速度？让我们考虑一个由 m1、m2、m3 等组成的粒子系统。这些粒子的初始位置向量是 r ₁ , r ₂ , r ₃ ...r _n 。 现在，这些粒子开始向它们的位置矢量方向移动。目标是找到系统质心的速度和速度方向。

根据质心的定义，

_厘米先生 = m ₁ r ₁ + m ₂ r ₂ + ...。

由于粒子在运动，它们正在改变它们的位置向量。从两边对方程求微分。

$\frac{d}{dr}(M\vec{r}) = \frac{d}{dr}(m_1\vec{r}_1 + m_1\vec{r}_2 + m_1\vec{r}_3 + ....m_1\vec{r}_n)$

⇒ $M\frac{d}{dr}(\vec{r}) = m_1\frac{d}{dr}(\vec{r}_1) + m_2\frac{d}{dr}(\vec{r}_2) + m_3\frac{d}{dr}\vec{r}_3 + ....$

⇒ $M\vec{v} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....$

⇒ $\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

同样，如果粒子处于加速状态。上面给出的方程可以再次微分以找到物体质心的加速度。

$\vec{a} = \frac{m_1\vec{a_1} + m_2\vec{a_2} + m_3\vec{a_3}+ ....}{M}$

示例问题

问题 1：两个点质量 m ₁ = 2Kg 和 m ₂ = 2Kg，分别以 v ₁ = 2 m/s 和 v ₂ = 4 m/s 的速度运动。求质心的速度。

解决方案：

The formula for the velocity of the Center of mass is given by, 

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

m₁ = 2Kg, m₂ = 2Kg and v₁ = 2 m/s and v₂ = 6 m/s. 

M = m_{1 +} m₂

⇒ M = 2 + 2 = 4

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

⇒ $\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} }{M}$

⇒ $\vec{v} = \frac{(2)(2) + (2)(4) }{4}$

⇒$\vec{v} = 3 \text{ m/s}$

问题 2：两点质量 m ₁ = 10Kg 和 m ₂ = 20Kg 分别以 v ₁ = 10 m/s 和 v ₂ = 5 m/s 的速度运动。求质心的速度。

解决方案：

The formula for the velocity of the Center of mass is given by, 

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

m₁ = 10Kg,  \m₂ = 30Kg and v₁ = 10 m/s and v₂ = 5 m/s. 

M = m_{1 +} m₂

⇒ M = 10 + 30 = 40

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

⇒ $\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} }{M}$

⇒ $\vec{v} = \frac{(10)(10) + (30)(5) }{40}$

⇒$\vec{v} = 8.25 \text{ m/s}$

问题 3：两点质量 m ₁ = 1Kg 和 m ₂ = 2Kg，分别有速度矢量 a = 6i + 4j 和矢量 b = -5i + 2j。求质心的速度。

解决方案：

The formula for the velocity of the Center of mass is given by, 

$\vec{v} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + m_3\vec{v_3}+ ....}{M}$

m₁ = 1Kg, m₂ = 2Kg and a = 6i + 4j, b = -5i + 2j

M = m_{1 +} m₂

⇒ M = 1 + 2 = 3

v_cm = $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

⇒v_cm = $\frac{ m_1\vec{a} + m_2\vec{b}}{M}$

⇒ v_cm = $\frac{ (1)(6\hat{i} + 4\hat{j} ) + (2)(-5\hat{i} + 2\hat{j})}{7}$

⇒ v_cm = $\frac{ 6\hat{i} + 4\hat{j} + -10\hat{i} + 4\hat{j})}{7}$

⇒ v_cm = $\frac{ -4\hat{i} + 8\hat{j} }{7}$

问题 4：两个点质量 m ₁ = 4Kg 和 m ₂ = 2Kg 分别以速度矢量 a = i + j 和矢量 b = -i + j 移动。找到质心。

解决方案：

The formula for the velocity of Center of mass in the vector notation is given by, 

v_cm = $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

m₁ = 4Kg, m₂ = 2Kg and a = i + j, b = -i + j

M = m_{1 +} m₂

⇒ M = 4 + 2 = 6

v_cm = $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

⇒v_cm = $\frac{ m_1\vec{a} + m_2\vec{b}}{M}$

⇒ v_cm = $\frac{ (4)(\hat{i} + \hat{j} ) + (2)(\hat{i} -\hat{j})}{7}$

⇒ v_cm = $\frac{ 4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{i} -2\hat{j})}{7}$

⇒ v_cm = $\frac{ 6\hat{i} + 2\hat{j} }{7}$

问题 5：由两个质量组成的系统的动量为 16Kgm/s，其质心的速度为 2m/s。 4 Kg 质量的速度为 4 m/s。求其他质量的速度。

解决方案：

The formula for the velocity of the Center of mass in the vector notation is given by, 

v_cm = $\frac{ m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...}{M}$

m₂ = ?, m₁ = 4Kg, v₂ = ? And v₁ = 4 m/s.

M = m_{1 +} m₂

⇒ M = 4 + m = 4 + m

Mv_cm = 16

⇒ (m + 4)(2) = 16 

⇒ m + 4 = 8 

⇒m = 4Kg

Thus, m₂ = 4Kg. 

Mv_cm = m₁v₁ + m₂v₂

⇒2(8) = (4)(4) + (4)v₂

⇒ 16 = (4)(4) + (4)v₂

⇒ 0 m/s = v₂