📌  相关文章
📜  不同物体的质心

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:37.098000             🧑  作者: Mango

不同物体的质心

质心是力学领域的一个重要概念。它使我们能够处理非常大的物体，否则这些物体将很难处理。这个概念允许我们将一个非常大的物体视为一个点质量，并按原样执行所有计算，而不用担心它的形状和大小。对于均匀对称的物体，质心通常与其质心在同一位置。但经常会遇到不均匀和不对称的物体。在这种情况下，有必要研究如何计算任意形状和大小的不同物体的质心。让我们详细研究一下这些方法。

质量中心

考虑一个由许多粒子组成的物体。该物体的质量等于所有粒子的总质量。在这些物体进行平移的情况下，物体的每一个粒子都会产生位移。当这样的物体正在运动并且有力作用在它上面时，假设力作用在一个点上。该单点称为身体的质心。假设整个身体的质量都集中在这一点上。

两个质量系统的质心

在现实生活中的很多地方都会遇到两个质量系统。哑铃也可以被认为是两个质量系统。现在，让我们假设正在考虑的两个质量之间的连接质量为零。让我们考虑下图中给出的两个质量。该系统的质心由下式给出，

X = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}

这个距离是从中心 O 给出的。

上式可以看作是两个质量的加权平均值。如果两个质量相等 m 1 = m 2 = m。

X = \frac{mx_1 + mx_2}{m + m} \\ X = \frac{x_1 + x_2}{2}

因此，对于质量相等的粒子，质量中心位于中点。如果系统由许多粒子组成 m 1 , m 2 , m 3 , .....m n沿一条直线类似于前面的情况。质心由下式给出，

X = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + ....m_nx_n}{m_1 + m_2 + ... m_n}

质心通式

因为所有系统都可以分解为由距原点特定距离的许多粒子组成的系统。到目前为止，一直假设粒子位于 x 轴上。实际上，身体是三维的。因此，三维物体质心的一般公式由下式给出，

x_{CM} = \frac{\sum^{n}_{i}m_ix_i}{\sum^{n}_{i}m_i} = \frac{\int xdm}{M}

y_{CM} = \frac{\sum^{n}_{i}m_iy_i}{\sum^{n}_{i}m_i} = \frac{\int ydm}{M}

z_{CM} = \frac{\sum^{n}_{i}m_iz_i}{\sum^{n}_{i}m_i} = \frac{\int zdm}{M}

不同物体的质心

对于对称且均匀的物体，此类物体的质心位于其质心。对称和均匀物体的一个例子是——圆环、圆形、正方形和长方体等。下面给出了一些标准形状的质心。

等边三角形

半圆盘

半圆环

半球壳

固体半球

示例问题

问题 1：两个点质量 m 1 = 1Kg 和 m 2 = 2Kg 分别位于 x = 1 m 和 x = 2 m。求质心。

解决方案：

问题 2：两个点质量 m 1 = 4Kg 和 m 2 = 2Kg 分别位于向量 a = i + j 和向量 b = -i + j。找到质心。

解决方案：

问题 3：两个点质量 m 1 = 4Kg 和 m 2 = 2Kg 分别位于向量 a = 2i – j 和向量 b = 3i + 5j。找到质心。

解决方案：

问题 4：从质量为 M、半径为 R 的较大圆盘中移除一个半径为 R/2 的圆盘。求质量中心。

解决方案：

问题5：质量为“m”和“2 m”的两根金属棒排列如下图所示。如果每根杆的长度为 1 m，则求系统的 CM。

解决方案：