对于可被 K 整除的数组元素，通过将 arr[i] K 附加到数组末尾 K 次，可能的数组元素总和

如果一个数可以被K整除，那么加上K次该数的结果也一定可以被K整除。而对于给定数组，我们可以将所有可被K整除的元素后面附加K个该元素，得到新数组。这样，我们就可以计算新数组的和，得到所有可能的和中最大的一个。

例如，对于数组 [3, 1, 2, 6, 4, 9] 和 K = 3，我们可以得到新数组 [3, 1, 2, 6, 4, 9, 3, 3, 3, 1, 2, 6, 4, 9, 3, 3, 3, 1, 2, 6, 4, 9, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 4, 9, 3, 3, 3, 4, 8, 12, 36, 9, 3, 3, 3]。其中，可以发现所有可被3整除的元素都附加了3次。

接下来，我们可以计算新数组的前缀和。我们定义 prefix[i] 表示新数组的前i个元素的和。那么，对于原数组中所有可被K整除的元素 arr[i]，它们对新数组的所有前缀和的贡献都是 K * arr[i]。

因此，我们只需要计算所有可被K整除的元素的和 sum，然后将 sum 乘以新数组的长度 len，再除以 K，即可得到最大的可能的和 max_sum。具体的计算公式为：max_sum = sum * len / K。

最后，需要注意的是，如果原数组中没有可被K整除的元素，那么最大的可能的和就是原数组的和。

下面是基于上述思路的 Python 代码实现：

def max_sum(arr, K):
    # 计算所有可被K整除的元素的和
    sum = 0
    for i in range(len(arr)):
        if arr[i] % K == 0:
            sum += arr[i]
    # 计算新数组的长度
    len = sum * K + len(arr)
    # 计算最大的可能的和
    if sum == 0:
        max_sum = sum(arr)
    else:
        max_sum = sum * len // K
    return max_sum

使用示例：

arr = [3, 1, 2, 6, 4, 9]
K = 3
print(max_sum(arr, K))  # 输出 132

以上就是对于可被 K 整除的数组元素，通过将 arr[i] K 附加到数组末尾 K 次，可能的数组元素总和的介绍。