对于任何给定的整数，最大化 F(N) 的值

问题描述

给定一个整数 N ，定义函数 F(N) 如下：

$$F(N) = \max(N, F(\left\lfloor\dfrac{N}{2}\right\rfloor) + F(\left\lfloor\dfrac{N}{3}\right\rfloor) + F(\left\lfloor\dfrac{N}{4}\right\rfloor))$$

其中，$\left\lfloor x \right\rfloor$ 表示向下取整，即不超过 x 的最大整数。

求 F(N) 的最大值。

解决方案

递归算法

可以很自然地想到使用递归来实现这个函数。

def F(N):
    if N <= 4:
        return N
    return max(N, F(N // 2) + F(N // 3) + F(N // 4))

N = 12
print(F(N))  # 输出 13

但是，这样的算法复杂度很大，因为会有很多重复的计算。例如，当计算 F(12) 时，会计算 F(6), F(4) 和 F(3)，而当计算 F(6) 时，会再次计算 F(3)，导致了很多浪费。

动态规划

为了避免重复计算，可以使用动态规划来实现。具体而言，可以以从小到大的顺序计算 F(1), F(2), ..., F(N) 的值，避免了重复计算。

def F(N):
    if N <= 4:
        return N

    dp = [0, 1, 2, 3, 4] + [0] * (N - 4)

    for i in range(5, N + 1):
        dp[i] = max(i, dp[i // 2] + dp[i // 3] + dp[i // 4])
    
    return dp[N]
    
N = 12
print(F(N))  # 输出 13

这个算法的时间复杂度是线性的，即 O(N)。

总结

这道题是一个比较典型的动态规划问题，相信大家通过本文的介绍已经能够理解算法的解题思路和实现方式。