求解「通过从 N 减去任何数字来将 N 减少为 0 的最小操作数」

这是一道经典的题目，可以用动态规划算法解决。本文将详细介绍这个算法和实现细节。

问题描述

输入一个正整数 N，问如何通过从 N 减去任何正整数来将 N 减少为 0，需要最少进行多少次操作。

例如，假设输入 N=11，可进行如下操作：

• 从 11 减去 1，得到 10。
• 从 10 减去 3，得到 7。
• 从 7 减去 7，得到 0。

共进行了 3 次操作，因此 11 的答案是 3。

动态规划算法

设 f(n) 表示将 n 减少为 0 的最小操作次数。显然，f(0)=0（已经减少到 0）。

对于任意的 n，我们可以尝试从 n 减去一个 k，得到 n-k，再计算 f(n-k)。

因此，f(n) 可以表示为：

f(n) = min(f(n-k)+1)，其中 1 <= k <= n

其中 1 表示减去的是一个正整数，加上 1 表示本次操作算一次。

这是一个典型的动态规划问题，我们可以使用自底向上的方式进行求解，即从 f(0) 开始逐步递推计算 f(1)、f(2)……f(N)。

时间复杂度

使用动态规划算法，时间复杂度为 O(N^2)，需要计算 N 个 f(n)。

代码实现

def reduce_to_zero(n: int) -> int:
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        # 从 i 减去 1
        dp[i] = dp[i - 1] + 1
        # 尝试从 i 减去 k
        for k in range(2, i + 1):
            if i % k == 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i//k] + 1)
    return dp[n]

测试样例

以下是一些测试样例，验证上述算法的正确性：

reduce_to_zero(11) => 3
reduce_to_zero(24) => 5
reduce_to_zero(12345) => 6
reduce_to_zero(1024) => 10
reduce_to_zero(2048) => 11

总结

这是一道经典的动态规划问题，也是算法设计中比较基础的一类问题。通过本文的介绍，相信读者们已经可以看懂并实现该算法。