将 N 减少到 0 所需的最少操作数

在面对需要将一个数 N 减少到 0 的问题时，如何找到最少的操作数呢？这里介绍两种常见的方法。

方法一：贪心

假设当前的 N 为 x，考虑每次操作时应该怎么减少操作次数。

显然，将 N 减去 1 是最简单的操作，但并不一定是最优的。如果 N 可以被 2 整除，那么将 N 减半的操作次数显然会更少。

因此，当 N 为奇数时，将 N 减 1，因为这样可以保证 N 变成偶数，接下来的操作可以通过除以二实现。如果 N 为偶数，将 N 除以二。

重复进行以上操作，直到 N 减少为 0。由于每次操作都会将 N 的位数减半，因此时间复杂度为 O(logN)。

代码如下：

def reduce_to_zero(n: int) -> int:
    ans = 0
    while n:
        if n % 2 == 0:
            n //= 2
        else:
            n -= 1
        ans += 1
    return ans

方法二：动态规划

假设将 N 减少到 0 的最少操作次数为 f(N)，那么显然：

f(N) = 1 + min(f(N-1), f(N/2) if N is even)

也就是说，如果 N 是奇数，那么将 N 减 1 就可以得到一个偶数，接下来的操作次数为 f((N-1)/2)。如果 N 是偶数，那么将 N 除以 2 可以得到一个更小的数，操作次数为 f(N/2)。

这是一个典型的动态规划问题，可以通过记忆化搜索来实现。时间复杂度为 O(N)。

代码如下：

def reduce_to_zero(n: int) -> int:
    memo = {}
    def dp(n: int) -> int:
        if n in memo:
            return memo[n]
        if n == 0:
            return 0
        if n % 2 == 0:
            ans = dp(n // 2) + 1
        else:
            ans = dp(n - 1) + 1
        memo[n] = ans
        return ans
    return dp(n)

以上就是将 N 减少到 0 所需的最少操作数的两种解法。在实际问题中，根据具体的场景选择合适的算法可以有效地提高效率。