总和等于给定数字 N 的最小平方数

介绍

该题目要求我们找出所有满足总和等于给定数字 N 的最小平方数的组合。例如，当 N=13 时，我们可以得到 3^2+2^2=13 和 2^2+2^2+2^2+1^2=13 这两个最小平方数组合。本文将介绍一种实现该问题的算法。

解题思路

首先我们可以尝试用贪心策略，将 N 依次减去最大平方数，直到减至 0，得到的减数个数即为所求的最小平方数个数。但这种方法不能保证我们得到的是最小的平方数个数。考虑使用动态规划来解决这个问题。

假设 $dp[i]$ 表示能组成数字 i 的最小平方数个数，则有：

$$dp[i]=\min_{j\in [1,\sqrt{i}]}(dp[i-j^2]+1)$$

其中，$dp[i-j^2]$ 表示用 $j^2$ 组成 i-j^2 的最小平方数个数，再加上 1 即为用 $j^2$ 至少要组成 i 的平方数个数。最后我们的目标是求出 $dp[N]$。

根据递推式，我们可以使用一个数组 $dp$ 来存储 $dp[1]$ 至 $dp[N]$ 的所有值。我们可以从小到大遍历数组，逐步求解 $dp$ 数组中的所有值。在求解 $dp[i]$ 时，需要遍历从 1 到 $\sqrt{i}$ 的所有平方数 $j^2$，然后用递推式得到最终结果。需要注意的是，遍历 $j^2$ 时应该按照从大到小的顺序，以确保得到的平方数为最小的平方数组合。

代码实现

下面给出 Python 3 的代码实现示例：

def min_sq_nums(n):
    # 初始化 dp 数组
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        # 设置 dp[i] 的默认值为 i
        dp[i] = i

        # 遍历所有平方数
        for j in range(1, int(i**0.5) + 1):
            # 计算 dp[i-j^2] 的值，如果 j^2 大于 i 则跳出循环
            if j**2 > i:
                break
            dp[i] = min(dp[i], dp[i-j**2] + 1)

    return dp[n]

该函数的输入为一个整数 n，输出为能组成数字 n 的最小平方数个数。我们可以使用该函数来解决上述问题，例如：

>>> min_sq_nums(13)
2
>>> min_sq_nums(27)
3
>>> min_sq_nums(100)
1

总结

本文介绍了一种使用动态规划来解决总和等于给定数字 N 的最小平方数组合的问题的算法。该算法的时间复杂度为 $O(n\sqrt{n})$，空间复杂度为 $O(n)$，可以在较短的时间内得到准确的结果。