化简 cot ² θ(1 + tan ² θ)

trigonon 一词的意思是三角形，metron 的意思是度量。因此，三角学是处理三角形的边和角的数学分支，其中一个角为 90°。三角学在工程、图像压缩、卫星导航和建筑等各个领域都有应用。

函数，也称为角函数或圆函数，是角或弧的函数。它简单地用直角三角形的边对的比率来表示。常用的六种三角函数分别是：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（cosec）角。

$\sin \theta = \frac{P}{B} \newline \cos \theta = \frac{B}{H} \newline \tan \theta = \frac{P}{B} \newline \cot \theta = \frac{B}{P} \newline \sec \theta = \frac{H}{B} \newline \cosec \theta = \frac{B}{P}$

其中P是垂线，B是底边，H是斜边。

三角方程是涉及一个或多个未知角度的三角比的方程。例如，sin ² x – 5 cosx = 1/2。

三角恒等式

三角恒等式是涉及三角函数的方程，这些函数适用于变量的所有可能值。在三角学中，有多种恒等式用于解决各种三角问题。它们如下，

毕达哥拉斯三角恒等式

$\sin^2θ + \cos^2θ = 1 \newline \sec^2θ-\tan^2θ = 1 \newline \cosec^2θ-\cot^2θ = 1$

倒数三角恒等式

$\tan \theta= \frac{1}{\cot \theta} \newline \sec \theta= \frac{1}{\cos \theta} \newline \cosec \theta= \frac{1}{\sin \theta}$

协同功能身份

$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta \newline \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta \newline \tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cot\theta \newline \cot(\frac{\pi}{2}-\theta)=\tan\theta \newline \sec(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cosec\theta \newline \cosec(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sec\theta$

互补角恒等式

$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta \newline \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta \newline \tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cot\theta \newline \cot(\frac{\pi}{2}-\theta)=\tan\theta \newline \sec(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cosec\theta \newline \cosec(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sec\theta$

补充角恒等式

$\newline \sin(\pi-\theta)=\sin\theta \newline \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta \newline \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta \newline \cot(\pi-\theta)=-\cot\theta \newline \sec(\pi-\theta)=-\sec\theta \newline \cosec(\pi-\theta)=\cosec\theta$

化简 cot ² θ(1 + tan ² θ)

解决方案：

cot²θ(1 + tan²θ)

(1 + tan²θ) = sec²θ

Substituting the value of 1 + tan²θ in the above expression,

= cot²θ × (sec²θ)

Recognize that, $\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin\theta}$ and $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$

On substituting the value of cotθ and secθ in the above expression,

= $\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} * \frac{1}{\cos^2 \theta}$

= $\frac{1}{\sin^2 \theta} = \cosec^2 \theta$

示例问题

问题 1：找到的值$\mathbf{\tan^2 \theta* (1 + \cot^2 \theta)}$

解决方案：

 $\mathbf{\tan^2 \theta* (1 + \cot^2 \theta)}$

$1+\cot^2\theta=\cosec^2\theta$

Substituting the value of $1+\cot^2\theta$ in the above expression,

= $\tan^2 \theta*(\cosec^2\theta)$

= $\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} * \frac{1}{\sin^2 \theta}$

= $\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$

问题 2：找到的值$\mathbf{\cot^2 \theta* (1 - \cos^2 \theta)}$

解决方案：

$\cot^2 \theta* (1 - \cos^2 \theta)$

 $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ therefore, $1-\cos^2 \theta=\sin^2 \theta$  

= $\cot^2 \theta* \sin^2\theta$

= $\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} * \sin^2 \theta$

= $\cos^2\theta$

问题 3：找到$\mathbf{\cot^2 \theta* (1 + \tan^2 \theta)}$

解决方案：

$\cot^2 \theta* (1 + \tan^2 \theta)$

$1 + \tan^2 \theta=\sec^2\theta$

$\cot^2 \theta* \sec^2\theta$

Also, $\cot \theta=\frac{\cos\theta}{\sin \theta}$  and $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$

 $\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}*\frac{1}{\cos^2\theta}$

 $\frac{1}{\sin^2\theta}$=$\cosec^2\theta$ 

问题 4：求值$\mathbf{\cot^2 \theta* (\sec^2 \theta-1)}$

解决方案：

$\cot^2 \theta* (\sec^2 \theta-1)$

$1 + \tan^2 \theta=\sec^2\theta$, therefore, $\sec^2\theta-1 =\tan^2 \theta$  

 $\cot^2\theta*\tan^2\theta$

Also, we are aware that $\tan\theta=\frac{1}{\cot\theta}$

 $\cot^2\theta*\frac{1}{\cot^2\theta}$=1