证明 cos ² θ (1+tan ² θ) = 1

三角学是数学的一个分支，它研究直角三角形的边与其角度之间的比率之间的关系。虽然三角学在解决实际问题中没有直接应用，但它被应用于各种活动。例如，在音乐中，声音以波的形式传播，虽然这种模式不像正弦或余弦函数那样有规律，但它对计算机音乐的发展却是有益的。

三角函数

三角函数，也称为圆函数，被定义为三角形角的函数。这意味着这些三角函数决定了三角形的角和边之间的关系。正弦、余弦、正切、余切、正割和余割是基本的三角函数。

三角方程

涉及未知角度的一个或多个三角比的方程称为三角方程。它表示为正弦 (sin)、余弦 (cos)、正切 (tan)、余切 (cot)、正割 (sec)、余割 (cosec) 角的比率。例如，棕褐色² x – 3 = 0

三角方程公式

对于直角三角形的边，所有 6 个三角角都定义了基本公式。如果知道与直角相邻的角度，则可以很容易地找出边的比率，

$\sin \theta = \frac{P}{B} \newline \cos \theta = \frac{B}{H} \newline \tan \theta = \frac{P}{B} \newline \cot \theta = \frac{B}{P} \newline \sec \theta = \frac{H}{B} \newline \cosec \theta = \frac{B}{P}$

其中 P 是垂线，B 是底边，H 是斜边。

三角恒等式

三角恒等式是与不同三角函数相关的方程，并且对于域中存在的变量的任何值都是正确的。下面是三角函数之间的关系，也称为倒三角恒等式，

$\tan \theta= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \newline \cot \theta= \frac{1}{\tan \theta}=\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \newline \sec \theta= \frac{1}{\cos \theta} \newline \cosec \theta= \frac{1}{\sin \theta}$

毕达哥拉斯三角恒等式

• 罪² θ + cos ² θ = 1
• 秒² θ - tan ² θ = 1
• cosec ² θ - 婴儿床² θ = 1

证明 cos ² θ (1 + tan ² θ) = 1。

解决方案：

To prove:  cos²θ (1 + tan² θ) = 1.

Starting from left hand side

=> cos²θ (1 + tan² θ) = 1.

$\sec^2 \theta = 1+\tan^2 \theta$

$=> \cos^2 \theta * (\sec^2 \theta)$

Also, $\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}$

$=> cos^2 \theta * (\frac{1}{cos^2 \theta})$

$=> \frac{cos^2 \theta}{cos^2 \theta}=1 =$ RHS

From here, it is seen that the value of the left hand side will always be equal to 1. Hence, it is independent of the value of the$\theta$. 

示例问题

问题一：证明sin ² θ×(1+cot ² θ)=1

解决方案：

Taking the left hand side

=> We know that, $\cosec^2 \theta=1+cot^2 \theta$

=> $\sin^2 \theta * (\cosec^2 \theta)$

=> Also, $\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}$ 

=> $\sin^2 \theta * (\frac{1}{\sin^2 \theta})$ =1=R.H.S

Hence proved.

问题2：证明$\mathbf {tan^2 \theta * (cosec^2 \theta-1)=1}$

解决方案：

Taking the left hand side

=> We know that, $\cosec^2 \theta=1+\cot^2 \theta$

$=>\tan^2 \theta * (\cot^2 \theta)$

=> Also, $\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}$

=>$\tan^2 \theta * (\frac{1}{\tan^2 \theta})$ =1=R.H.S

Hence proved.

问题 3：找到$\mathbf {sin^2 30\degree * (1+cot^2 30\degree)}$

解决方案：

=> $sin^2 \theta * (1+cot^2 \theta)=1$, independent of the value of the value of $\theta$

Therefore, the value of $sin^2 30\degree * (1+cot^2 30\degree)$ is 1.

问题 4：证明$\sec^2\theta*(1-\sin^2\theta)=1$

解决方案：

=> $\sec^2\theta*(1-\sin^2\theta)$

=> We know that, $\sin^2 \theta+\cos^2\theta=1$, therefore, $1-\sin^2 \theta=\cos^2\theta$

=> $\sec^2\theta*\cos^2\theta$

=> Also, $\cos \theta=\frac{1}{\sec \theta}$

=> $\sec^2 \theta*\frac{1}{\sec^2 \theta}$ =1