博弈论（正态博弈） |第 3 组（混合策略游戏）

考虑以下关于参与者 A 的支付矩阵并对其进行最佳求解。

解决方案：
如果游戏没有鞍点，则称该游戏具有混合策略。

• 步骤1：找出行最小值和列最大值。
  
• 第 2 步：找出极大极小值和极大极小值。
  
  由于这个游戏的极大极小值和极大极小值不相等，所以这个游戏没有鞍点。
• 第 3 步：现在取 2×2 矩阵并找出行和列的奇数。
  
  奇数：取第一行的最高结果和最小结果的差，放在第二行的右边(见上图)，即9和7的差为2，放在第二行的右边。同理，取第二行最高和最低结果的差，放在第一行的右边，即11和5的差为6，放在第一行的右边。同样，也可以找到列的奇数。取一列的较大和较小结果之间的差异，并将其放在另一列的底部。 11 – 7 = 4 放在第一列的底部，而 9 – 5 = 4 放在第二列的底部。
• 第 4 步：现在找到每一行的概率。
  使用公式
  
  设x和(1-x)为参与者A选择策略的概率，y和(1-y)为参与者B选择策略的概率，则
  
  和，
  

  不使用公式
  
  计算概率：对应的奇数/行或列奇数的总和，即
  对于 P1，第 1 行的奇数值为 6，两行奇数值之和为 8，因此 P1 = 6/(6+2) = 3/4
  对于 P2，第 2 行的奇数值为 2，两行奇数值之和为 8，所以 P2 = 2/(6+2) = 1/4
  对于 Q1，第 1 列的奇数值为 4，两列奇数值之和为 8，因此 Q1 = 4/(4+4) = 1/2
  对于 Q2，第 2 列的奇数值为 4，两列奇数值之和为 8，因此 Q2 = 4/(4+4) = 1/2

• 第五步：找到游戏的价值。
  使用公式
  
  不使用公式
  有4种方法可以找到游戏的价值。
  取第一列。现在将第一列的元素与相应的行奇数相乘，然后将两个乘法相加，然后除以行的总奇数。
  V = (9*6 + 5*2) / (6 + 2) = (54 + 10) / 8 = 64 / 8 = 8。
  要么，
  取第二列。现在将第二列的元素与相应的行奇数相乘，然后将两个乘法相加，然后除以行的总奇数。
  V = (7*6 + 11*2) / (6+2) = (42 + 22) / 8 = 64 / 8 = 8。
  要么，
  取第一排。现在将第一行的元素与相应的列奇数相乘，然后将两个乘法相加，然后除以列的总奇数。
  V = (9*4 + 7*4) / (4 + 4) = (36 + 28) / 8 = 64 / 8 = 8。
  要么，
  拿第二排。现在将第二行的元素与相应的列奇数相乘，然后将两个乘法相加，然后除以列的总奇数。
  V = (5*4 + 11*4) / (4 + 4) = (20 + 44) / 8 = 64 / 8 = 8。
• Step 6：因此，玩家 A 的策略是(3/4, 1/4)，玩家 B 的策略是(1/2, 1/2)，博弈的值为 V = 8。每个玩家选择每种策略的概率小于 1，但每个玩家的总概率为 1。玩家 A 的总概率为 3/4 + 1/4 = 1，玩家 B 的总概率为 1/2 + 1/2 = 1。