数学 |图论基础 – 第 2 组

先决条件 – 图论基础 – 设置 1
图是构成一组对象的结构，其中一些对象对在某种意义上是“相关的”。图的对象对应于顶点，它们之间的关系对应于边。图以图解方式描绘为一组点，这些点描绘了由描绘边缘的线或曲线连接的顶点。
正式地，

“一张图由组成，一组非空的顶点(或节点)和，一组边。每条边都有一个或两个与之关联的顶点，称为端点。”

图的类型：有几种基于边、方向、权重等区分的图。

1. 简单图——每条边连接两个不同的顶点并且没有两条边连接同一对顶点的图称为简单图。例如，考虑下图——

上面的图是一个简单的图，因为没有一个顶点有自环，也没有两个顶点有多个边连接它们。
边由它们连接的顶点表示 – $\{A,B\}$ 是连接顶点的边和 .

2.多重图——多条边可以连接同一对顶点的图称为多重图。
由于同一对顶点之间可以有多条边，边的多样性表示两个顶点之间的边数。

上图是一个多重图，因为它们之间有多个边和 .边的多样性 $\{B, C\}$ 是 2。

在某些图中，与上图不同，边是有向的。这意味着对象之间的关系是单向的，而不是双向的。在某些应用中，边缘的方向可能很重要。

根据边是否有向，我们可以得到有向图和无向图。这个性质可以扩展到简单图和多重图，得到简单有向或无向简单图和有向或无向多重图。

基本图形术语：

在上面的讨论中，已经解释了一些关于图的术语，例如顶点、边、有向和无向边等。还有更多的术语描述了顶点和边的属性。

邻接——在图中两个顶点和如果它们是边的端点，则称它们是相邻的。边缘 $\{u, v\} - e$ 据说与顶点发生事件。
如果边缘是定向的，据说与和据说是从 .这里，被称为初始顶点并且被称为终端顶点。
度数——顶点的度数是与其相关的边的数量，除了对顶点度数有两倍贡献的自环。顶点的度数表示为 .
在有向图的情况下，度数进一步分为入度和出度。顶点的入度是给定顶点作为终端顶点的边数。顶点的出度是以给定顶点作为初始顶点的边数。入度表示为和出度表示为 .
例如，在上面显示的描述城市之间航班的有向图中，顶点“Delhi”的入度为 3，其出度也是 3。

注意：如果顶点的度数为零，则称为孤立的。如果度数为 1，则称为pendant 。

握手定理：

如果将图的所有顶点的度数相加，会得到什么。在无向图的情况下，每条边贡献两次，一次用于其初始顶点，第二次用于其终端顶点。所以度数的总和等于边数的两倍。这个事实在握手定理中有陈述。

让是一个无向图边缘。然后 $2e = \sum_{u\in V} deg(u)$ 如果 G 是有向图， $\sum_{u\in V} deg^-(u) = \sum_{u\in V} deg^+(u) = |E|$

对于无向图，握手定理有一个有趣的结果——

An undirected graph has an even number of vertices of odd degree.

证明：让 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 分别是偶数和奇数的顶点集。
我们通过握手定理知道，
$2e = \sum_{u\in V} deg(u)$
所以，
$2e = \sum_{u\in V} deg(u) = \sum_{u\in V_{1}} deg(u) + \sum_{u\in V_{2}} deg(u)$
度数为偶数的顶点的度数之和为偶数。 LHS 也是偶数，这意味着具有奇数度数的顶点的度数之和必须是偶数。
因此，具有奇数度的顶点数是偶数。