📜  数学 |图论实践题

📅  最后修改于: 2021-09-27 14:53:01             🧑  作者: Mango

问题 1 – Geeksland 有 25 部电话。是否可以用电线将它们连接起来,以便每部电话都与另外 7 部电话准确连接。
解决方案——让我们假设这样的安排是可能的。这可以看作是一个图表,其中电话使用顶点表示,连线使用边表示。现在我们在这个图中有 25 个顶点。图中每个顶点的度数为 7。

从握手引理,我们知道。

sum of degrees of all vertices = 2*(number of edges)
number of edges = (sum of degrees of all vertices) / 2

我们需要了解一条边连接两个顶点。所以所有顶点的度数总和等于边数的两倍。
所以,

25*7 = 2*(number of edges)
number of edges = 25*7 / 2 = 87.5

这不是整数。因此,我们可以得出结论,我们的假设是错误的,这样的安排是不可能的。

问题 2 –下图显示了 3*3 网格上的骑士排列。

图 –初始状态

是否可以使用有效的骑士动作达到如下所示的最终状态?


图 –最终状态

解决方案 –否。您可能认为您需要成为一名优秀的国际象棋棋手才能破解上述问题。然而,上述问题可以使用图形来解决。但是我们应该画什么样的图形呢?让 9 个顶点中的每一个都由一个数字表示,如下所示。

现在我们将网格的每个正方形视为图中的一个顶点。如果在图中相应的正方形之间可能有有效的骑士移动,则图中的两个顶点之间存在边。例如 – 如果我们考虑方格 1。具有有效骑士移动的可到达方格是 6 和 8。我们可以说顶点 1 连接到图中的顶点 6 和 8。

类似地,我们可以绘制整个图形,如下所示。显然,任何正方形都无法到达顶点 5。因此没有一条边连接到顶点 5。

我们在图表中使用空心圆描绘白骑士,使用实心圆描绘黑骑士。因此,图的初始状态可以表示为:


图 –初始状态

最终状态表示为:


图 –最终状态

请注意,为了达到最终状态,需要存在两条骑士(黑骑士和白骑士交叉)的路径。我们只能在图上以顺时针或逆时针方式移动马(如果两个顶点在图上相连:则表示网格上存在对应的马的移动)。然而,骑士出现在图表上的顺序不能改变。一个骑士不可能通过(一个顶点上不能存在两个骑士)另一个来达到最终状态。因此,我们可以得出结论,无论如何最终的安排都是不可能的。

问题 3:在一个平面上画了 9 条线段。每个线段是否有可能恰好与另外 3 个线段相交?
解决方案:这个问题最初看起来很困难。我们可以考虑使用图形来解决它。但是我们如何绘制图形。如果我们试图通过使用线段作为图形的边来解决这个问题,我们似乎无处可去(这最初听起来令人困惑)。这里我们需要考虑一个图,其中每个线段都表示为一个顶点。现在,如果相应的线段相交,则该图的两个顶点已连接。

现在这个图有 9 个顶点。每个顶点的度数为 3。

我们知道对于一个图
所有顶点的度数总和 = 2* 图中的边数
由于上述问题中顶点的度数总和为 9*3 = 27 即奇数,因此这种排列是不可能的。