数学 | 图论实践题

在计算机科学中，数学和图论都是非常重要的学科。在实践中，我们可以将它们结合起来解决很多问题。本文将介绍一些数学和图论的实践题目，希望能够帮助程序员们提高自己的技能。

题目一：数学问题

题目描述

给定一个n个数的数组a，你可以进行无限次以下操作：

• 选择两个数ai和aj（i≠j）并将它们替换为a′i和a′j，满足a′i=a′j=ai+aj。

请编写一个程序来计算可以通过无限制的操作得到的所有数组元素之和。

输入格式

第一行包含一个整数n，表示数组长度。

第二行包含n个整数a1,a2,...,an，表示数组中的每个元素。

输出格式

输出通过无限制操作得到的所有数组元素之和。

输入样例

5
1 2 3 4 5

输出样例

70

解题思路

首先可以观察到，所有操作都是将两个数替换为它们的和，那么本质上并没有改变这个数组的和。因此，不管做多少次操作，最后得到的结果都是数组中所有元素之和。

因此，这道题的答案就是数组中所有元素的和。

代码实现

n = int(input().strip())
a = list(map(int, input().split()))
print(sum(a))

题目二：图论问题

题目描述

给定一个n个点m条边的有向图，节点从0到n-1编号。对于每个节点v，求从节点0到节点v的最短距离。

输入格式

第一行包含两个整数n和m，表示节点数和边数。

接下来m行，每行包含三个整数u,v,w，表示一条从u到v的有向边，边长为w。

输出格式

输出n行，每行一个整数，第i行表示节点0到节点i的最短距离，若不存在，则输出-1。

输入样例

3 3
0 1 1
1 2 2
0 2 3

输出样例

0
1
3

解题思路

对于这道题，我们可以使用Dijkstra算法求解。首先将所有节点的距离初始化为无穷大，起点距离为0。然后从起点开始，不断更新其他节点的距离，直到所有点都已更新完毕。

具体来说，我们首先将起点加入优先队列中，其距离为0。然后每次从队列中取出距离最小的节点u，对于与其相邻的节点v，如果到起点的距离可以通过u缩短，我们就更新节点v的距离，并将其加入优先队列中。这样最后我们就可以得到所有节点到起点的最短距离。

代码实现

import heapq

class Edge:
    def __init__(self, to, length):
        self.to = to
        self.length = length

class Node:
    def __init__(self, value, dist):
        self.value = value
        self.dist = dist

    def __lt__(self, other):
        return self.dist < other.dist

def dijkstra(n, edges):
    graph = [[] for _ in range(n)]
    for v, u, w in edges:
        graph[v].append(Edge(u, w))

    dist = [float('inf')] * n
    dist[0] = 0

    pq = [Node(0, 0)]
    heapq.heapify(pq)

    while pq:
        node = heapq.heappop(pq)
        u = node.value
        if node.dist != dist[u]:
            continue
        for e in graph[u]:
            if dist[u] + e.length < dist[e.to]:
                dist[e.to] = dist[u] + e.length
                heapq.heappush(pq, Node(e.to, dist[e.to]))

    for i in range(n):
        if dist[i] == float('inf'):
            print(-1)
        else:
            print(dist[i])

n, m = map(int, input().split())
edges = []
for _ in range(m):
    u, v, w = map(int, input().split())
    edges.append((u, v, w))

dijkstra(n, edges)

总结

数学和图论都是程序员必须掌握的重要学科，希望大家能够多加练习，不断提升自己的技能。