📜  数学 |匹配(图论)

📅  最后修改于: 2021-09-23 04:36:45             🧑  作者: Mango

先决条件 –图论基础
给定一个无向图匹配是一组边,这样没有两条边共享同一个顶点。换句话说,图的匹配是一个子图,其中子图的每个节点都有零条或一条边与之相关。
如果边与顶点相匹配,则称该顶点匹配,否则为自由。
可能的匹配K_4 ,这里的红色边缘表示匹配 –

匹配术语——

最大匹配 – A 匹配M图的G如果添加一条边,则称其为最大G但不在M , 使M不是匹配。
换句话说,最大匹配M不是任何其他匹配的适当子集G .例如,以下图表是最大匹配——

将任何边添加到上述任何图形中都会导致它们不再匹配。

最大匹配 – A 匹配M图的G如果它是最大的并且具有最大的边数,则称它是最大的。
一个图可能有许多可能的最大匹配。
每个最大匹配都是最大匹配,但不是每个最大匹配都是最大匹配。
例如,在第一张图中G_3是最大匹配,在第二个图中,第二个和第三个图是最大匹配。

完美匹配——一个匹配M图的G如果每个顶点都恰好连接到一条边,则称它是完美的。每个完美匹配都是最大匹配,但不是每个最大匹配都是完美匹配。
由于每个顶点都必须包含在完美匹配中,因此匹配中的边数必须为\frac{|V|}{2}其中 V 是顶点数。因此,只有在顶点数为偶数时才存在完美匹配。
例如在第一张图中, G_3是绝配。
如果原始图中的顶点数是奇数,则称匹配接近完美,这是最大匹配并且只遗漏了一个顶点。例如在第二张图中,第三张图是近乎完美的匹配。

  • 示例 –计算完整图中完美匹配的数量K_n .
  • 解决方案——如果完整图中的顶点数是奇数,即n是奇数,那么完美匹配的数量是 0。
    但是如果n即便如此,我们也可以推导出一个计算完美匹配数量的通用公式。
    自从n是偶数,我们可以将其表示为2m对于一些正整数m .
    在完美图中,每个顶点都与其他每个顶点相连,因此每个顶点的度数为2m-1 .其中2m-1我们必须选择 1 条边来包含两个顶点。
    我们可以选择一个边缘2m-1方法。现在2m-2顶点仍然存在并且(2m-2)-1 =  2m-3边仍然存在,因为连接到已选择顶点的边无法选择,因为它是匹配的。
    所以从2m-3边是2m-3 .
    我们可以继续以同样的方式选择边,然后通过乘积规则——
    完美匹配数- (2m-1) * (2m-3) *...*3*1 .
    这也可以写成——
    =\:\frac{\{(2m-1) * (2m-3) *...*3*1\}*\{(2m) * (2m-2) *...*4*2\}}{\{(2m) * (2m-2) *...*4*2\}}
    =\:\frac{(2m)!}{\{2^m * (m) * (m-1) *...*2*1\}}
    =\:\frac{(2m)!}{2^m * m!}}
    所以对于一个完美的图形2m顶点完美匹配的数量是- =\:\frac{(2m)!}{2^m * m!}}

二分匹配——
匹配在流网络、调度和规划、图着色、神经网络等方面有很多应用。其中最常见的是调度问题,其中有m可以完成的任务n工人。任务和工人代表二部图中的两组顶点,如果工人能够完成任务,则任务与工人相连。
因此,问题是找到最大匹配。
文章中讨论了有关此主题的更多信息 – 最大二部匹配

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。

1. GATE CS 2003,问题 36

参考 –

匹配 – 维基百科
离散数学及其应用,Kenneth H Rosen