毕达哥拉斯三胞胎公式

毕达哥拉斯三胞胎的概念自古以来就被许多希腊、中国和印度的哲学家所使用。用于说明直角三角形的三个边（即a、b、c）之间的关系。它指出，在任何直角三角形中，斜边的平方等于三角形其他两条边的平方和。在本文中，我们将通过示例详细了解毕达哥拉斯三元组公式。

毕达哥拉斯三胞胎公式

该公式用于找到满足勾股定理的三个正整数或项。一般来说，这三个项可以写成（a，b，c）的形式，由这些项组成的三角形称为毕达哥拉斯三角形。让我们考虑一个直角三角形，其中 m 是底边，n 被称为垂直，p 被称为斜边。所以根据毕达哥拉斯三元组定理：任意两条边的平方和等于第三条边的平方。

m² + n² = p²

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所以毕达哥拉斯三元组公式是

m = a – b
n = 2ab
p = a² + b²

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这里，m、n 和 p 是底边、垂边和斜边。 a 和 b 是任意两个正整数，其中 a > b 并且互质且不应该是奇数。

1. 奇数自然数的毕达哥拉斯三元组公式：

如果我们有一个奇数（1、3、5、7、9等）可以作为m，则可以使用以下公式找到三元组，然后将m放入公式中即可找到这两个数。

(m, (m²– 1)/2 , (m²+ 1)/2)

Here m should be greater than 1.

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2. 偶数自然数的毕达哥拉斯三元组公式：

如果我们有一个偶数（2、4、6、8、10等）可以被视为m，则可以使用以下公式找到三元组，然后将m放入公式中可以找到其他两个数.

(m, (m²– 4)/4 , (m²+ 4)/4)

Here m should be greater than 2.

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毕达哥拉斯三胞胎公式的证明

We can prove the Pythagorean Triplets Formula in many ways but here we use the algebraic method. In this method, we use the terms shown in the below figure.

Step 1: We have four right-angled triangles with base m, perpendicular n, and hypotenuse p. Now arrange these triangles so that they make two squares one is outer square ABCD whose side is m+n and another one is inner square WZXY whose side is c.

Step 2: Now we find the area of the inner, outer square, and triangles:

Area of outer square ABCD = (m+n)²

Area of inner square WXYZ = (p)²

Area of one triangle = 1/2(m × n)²

Area of four triangles = 4 × 1/2(m × n)²= 2(m × n)²

Step 3: As we know that the area of square ABCD = Area of square WXYZ + Area of four triangles

So (m + n)² = 2(m × n)² + p²

m² + 2 × m × n + n² = 2 × m × n + p²

m² + n² = p²

Hence Pythagorean Triplets Formula is proved.

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毕达哥拉斯三胞胎的类型

1. 原始毕达哥拉斯三元组：这些也称为缩减三元组，这些三元组的最大公约数是 1。或者我们可以说原始毕达哥拉斯三元组是三个数除了 1 之外没有任何公约数的那些三元组。这种类型的三元组在三个给定的三个数字中只包含一个偶正数。

Example: 3, 4, 5

3, 4, 5 are Pythagorean triplets as they satisfy the Pythagorean triplets formula also the greatest common factor of 3, 4, 5 is 1.

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2. 非原始毕达哥拉斯三胞胎：这些也被称为原始毕达哥拉斯三胞胎。非原始毕达哥拉斯三元组是三个数具有公约数的三元组。这种类型的三元组可以在三个给定的三个数字中包含一个以上的偶正数。

Example: 6, 8, 10

6, 8, 10 are Pythagorean triplets as they satisfy the Pythagorean triplets formula but the greatest common factor of 6, 8, 10 is not equal to 1 so these are non – primitive Pythagorean triplets.

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毕达哥拉斯三元组的性质

毕达哥拉斯三元组是直角三角形的边，表示为 m、n、p。
这些数字满足毕达哥拉斯三元组公式 m ² + n ² = p ² 。
边 m 和 n 是直角三角形的边，代表垂直和底边，而 p 是斜边。
毕达哥拉斯三元组由所有偶数或两个奇数和一个偶数组成。
毕达哥拉斯三元组的所有三个数字永远不会是奇数。

示例问题

问题 1：如果 m = 8，则求毕达哥拉斯三元组。

解决方案：

Given m = 8,

so (m² – 4)/4 = (64 – 4)/4 = 15

(m² + 4)/4 =(64 + 4)/4 = 17

Hence Pythagorean Triplets are 8, 15, 17.

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问题 2：如果 m = 9，则求毕达哥拉斯三元组。

解决方案：

Given m = 9,

so (m² – 1)/2 = (81 – 1)/2 = 40

(m² + 1)/2 =(81 + 1)/2 = 41

Hence Pythagorean Triplets are 9, 40, 41.

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问题 3：找出其中一个成员是 13 的毕达哥拉斯三元组。

解决方案：

Take m = 13,

so (m² – 1)/2 = (169 – 1)/2 = 84

(m² + 1)/2 =(169 + 1)/2 = 85

Hence Pythagorean Triplets are 13, 84, 85.

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问题 4：检查 (6, 8, 10) 是否是毕达哥拉斯三元组。

解决方案：

Let us take m = 6, n = 8, and p = 10

According to the formula

m² + n² = p²

We get

(6)² + (8)² = (10)²

36 + 64 = 100

100 = 100

Here L.H.S = R.H.S

Hence proved that (6, 8, 10) is a Pythagorean triplet.

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问题 5：如果 (y, 84, 85) 是毕达哥拉斯三元组，则求 y 的值。

解决方案：

Let us take m = y, n = 84, and p = 85

According to the formula

m² + n² = p²

We get

(y)² + (84)² = (85)²

y² + 7056 = 7225

y² = 169

y = 13

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