排列中的双毕达哥拉斯三胞胎

介绍

排列中的双毕达哥拉斯三胞胎是指一个长度为 $n$ 的正整数数组中，存在三个不同的下标 $i, j, k$，满足 $i < j < k$ 且 $a_i^2 + a_j^2 = a_k^2$。这三个下标对应的元素被称为毕达哥拉斯三胞胎。

例如，对于数组 $a = [3, 4, 5, 8, 10]$，存在毕达哥拉斯三胞胎 $(3, 4, 5)$ 和 $(6, 8, 10)$。

解法

暴力枚举

最朴素的思路是枚举三个下标 $i, j, k$，判断它们是否对应毕达哥拉斯三胞胎。这种方法的时间复杂度是 $O(n^3)$，不能通过本题。

哈希表

一个优化的思路是，先计算出数组中所有可能的 $a_i^2 + a_j^2$ 的值，然后通过哈希表记录下每个值对应的下标，再枚举 $k$，判断 $a_k^2$ 是否出现在哈希表中，并且哈希表中对应的下标是否满足 $i < j < k$。这种方法的时间复杂度是 $O(n^2\log n)$，在本题的时间限制内可以通过。

双指针

再进一步地，我们考虑可以在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内解决本题。我们首先对数组进行排序，然后对于每个固定的下标 $k$，使用双指针在 $[1, k-1]$ 的范围内寻找满足 $a_i^2 + a_j^2 = a_k^2$ 的下标对。由于数组已经排序，双指针的精妙之处在于可以通过调整指针来有效地缩小搜索范围，从而避免了哈希表的构建和查找。

具体来说，我们可以使用一个指针 $i$ 指向 $k-1$，另一个指针 $j$ 指向 $1$。然后每次判断 $a_i^2 + a_j^2$ 是否等于 $a_k^2$，如果小于，则将 $j$ 右移一位，如果大于，则将 $i$ 左移一位，如果等于，则找到了一个毕达哥拉斯三胞胎，输出即可。我们可以证明，对于任意固定的下标 $k$，该算法可以找到所有满足条件的下标对 $(i, j)$。

双指针算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，可以通过本题。

代码

def count_pythagorean_triplets(arr):
    n = len(arr)
    arr.sort()  # 排序数组
    cnt = 0
    for k in range(2, n):
        i, j = 0, k - 1
        while i < j:
            if arr[i] ** 2 + arr[j] ** 2 < arr[k] ** 2:
                i += 1
            elif arr[i] ** 2 + arr[j] ** 2 > arr[k] ** 2:
                j -= 1
            else:
                cnt += 1
                i += 1
                j -= 1
    return cnt

以上是使用 Python 实现的排列中的双毕达哥拉斯三胞胎算法，时间复杂度 $O(n^2)$。