证明 tan 1°.tan 2°.tan 3° ……… tan 89° = 1

对三角形属性的研究及其在各种应用中的应用，通常包括各种类型的三角形的长度（边）、高度和角度，称为三角学。三角学涉及三角函数的研究，有 6 个三角函数或比率需要研究。让我们详细了解它们，

三角比

三角学中使用了六个角度的比率（或函数）。函数的名称是 - 正弦 (sin)、余弦 (cos)、正切 (tan)、余切 (cot)、正割 (sec) 和余割 (cosec)。三角比是基于三角形（直角）中边的比率的值。直角三角形有三个边，

1. 斜边 (AC)
2. 垂直或高度 (AB)
3. 基地 (BC)

三角函数的比率为

• sin：与该角相对的一侧与斜边的比率。 (AB/AC)
• cos：该角旁边的边与斜边的比率。 (BC/AC)
• tan：与该角度相对的一侧与该角度旁边的一侧的比率。 (AB/BC)
• cosec：罪的倒数。 (AC/AB)
• 秒： cos 的倒数。 (AC/BC)
• 婴儿床：棕褐色的倒数。 (BC/AB)

互补函数的三角比

互补角是它们的和为90°的角。例如，15° 和 75° 是互补的，因为它们的和是 90°。互补函数的三角比是指这些比以彼此相距 90° 的方式相互关联。

• sin (90°- x) = cos x
• cos (90° – x) = sin x
• 棕褐色 (90° – x) = 婴儿床 x
• 婴儿床 (90° – x) = 棕褐色 x
• 秒 (90° – x) = cosec x
• cosec (90° – x) = 秒 x

Note: Values of ‘x’ must lie between 0° to 90°.

证明 tan 1°.tan 2°.tan 3° ……… tan 89° = 1

证明：

LHS  tan 1° × tan 2° × tan 3° ….. tan 87° × tan 88° × tan 89°

Therefore the equation is written as follows,

⟹ tan 1° × tan 2° × tan 3° ….. tan(90° − 3°) × tan(90° − 2°) × tan(90° − 1°)

Since, tan(90°− θ) = cot(θ)

⟹ tan 1° × tan 2° × tan 3° ….. tan 45° …..   cot  3° × cot  2° × cot 1°

Since we know tan( θ ) × cot θ  = 1 and tan 45° = 1

⟹ 1 × 1 × 1 …. 1    

Therefore, LHS = RHS = 1 (Proved)

类似问题

问题 1：证明 sin 32° × cos 58° + cos 32° × sin 58° = 1

解决方案：

LHS  sin 32° × cos 58° + cos 32° × sin 58°

Since sin A = cos (90-A) and cos A = sin (90 – A),

⟹ sin 32° × cos (90−32)° + cos 32° × sin (90 − 32)°  

⟹ sin 32° × sin 32° + cos 32° × cos 32°

⟹ sin²32° + cos²32°  [Since, sin²A + cos²A = 1]

⟹ 1

Therefore, LHS = RHS = 1 (Proved)

问题 2：表达式 tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° 的值是多少？

解决方案：

tan 48° × tan 23° × tan 67° × tan 42°  ⇢  (1)

Therefore, tanA = cot(90 – A)

⟹ tan 48° = cot 42°

⟹ tan 23° = cot 63°

Put them in equation (1), 

⟹ cot 42° × tan 42° × cot 63° × tan 63°  ⇢  (2)

 tanA = 1/cotA

⟹ tan 42° = 1/cot 42°

⟹ tan 63° = 1/cot 63°

Put in equation (2), 

⟹ cot 42° × (1/cot 42°) × cot 63° × (1/cot 63°)

⟹ 1 × 1

⟹ 1 

问题3：求cos 20° × cos 40° × cos 60° × cos 80°的值

Solution:

$\space cos \space 60° = {\dfrac{1}{2}} \\\implies cos \space 20° . \space cos \space 40° . \space {\dfrac{1}{2}} .\space cos \space 80° \\[3mm]$

Multiplying and dividing by 2,

 $\\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{4}} \space (2 . \space cos \space 20° . \space cos \space 40° \space . \space cos \space 80°) \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{4}} \space [cos \space (20° + 80°)+ \space cos \space (20° - 80°)] \space . \space cos \space 40° \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{4}} \space [cos \space (-60°) + cos \space (100°)] \space . \space cos \space 40° \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{4}} \space [{\dfrac{1}{2}} \space + \space cos \space 100°] \space .\space cos \space 40° \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}} \space cos \space 40° \space + \space {\dfrac{1}{4}} \space (cos \space 40° \space . \space cos \space 100°) \\[3mm]$

Multiplying and dividing by 2,

$\\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{2}{2}} .\space ({\dfrac{1}{8}} \space . \space cos \space 40°) \space + \space {\dfrac{1}{8}} . \space (2. \space cos \space 40° \space . \space cos \space 100°) \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}} \space cos \space 40° \space + \space {\dfrac{1}{8}} \space [cos \space 140° \space + \space cos \space (-60°)] \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}}. \space cos \space 40° \space + \space {\dfrac{1}{8}} \space . \space cos \space 140° \space + \space {\dfrac{1}{16}} \space \space [Since, \space cos \space 60° \space = \space {\dfrac{1}{2}}] \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}} \space (cos \space 40° \space + \space cos \space 140°) \space + \space {\dfrac{1}{16}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{8}} \space [2. \space cos \space 90°. \space cos \space (-50°)] \space + \space {\dfrac{1}{16}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{1}{16}}\space cos \space 90° \space = \space 0]$

问题 4. 求 sin 10° × sin 50° × sin 60° × sin 70° 的值

解决方案：

sin 10° × sin 50° × sin 60° × sin 70°

Multiplying numerator and denominator by 2,

$\\[3mm] \\\implies {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 10°. \space 2\space . sin \space 50°. \space sin \space 70°]}{2}} \\[3mm]$

Using formula, 2sinAsinB = cos(A – B) – cos(A + B)

$\\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 10°. \space (cos(-20°) \space - \space cos \space 120°)]}{2}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 10°. \space (cos \space 20° \space - \space cos \space 120°)]}{2}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 10°. \space cos \space 20° \space - \space sin \space 10 \space . \space cos \space 120°]}{2}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 30° \space + \space sin(-10°) \space - \space 2 \space sin \space 10 \space .\space cos \space 120°]}{4}} [Since, \space cos \space 120° \space = \space {\dfrac{-1}{2}}] \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{[sin \space 30° \space + \space sin(-10°) \space + \space sin \space 10°]}{4}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{2}} \space * \space {\dfrac{1}{2}} \space * \space {\dfrac{1}{4}} \\[3mm] \\\implies \space {\dfrac{√3}{16}}$