题目描述

已知 $tan3A=cot(A-30^{\circ})$，其中 $3A$ 是锐角。求 $A$ 的值。

解题思路

首先，我们可以将 $cot(A-30^{\circ})$ 转换为 $\dfrac{cos(A-30^{\circ})}{sin(A-30^{\circ})}$。 那么，原式就变成了 $\dfrac{sin3A}{cos3A}=\dfrac{cos(A-30^{\circ})}{sin(A-30^{\circ})}$。 根据三倍角公式，$sin3A=3sinA-4sin^3A$，$cos3A=4cos^3A-3cosA$。 将上述三倍角公式带入原式，得到 $3sinA-4sin^3A=\dfrac{cos(A-30^{\circ})}{sin(A-30^{\circ})}(4cos^3A-3cosA)$。 化简可得 $4cos^3A-3cosA=-4sin^4A+3sin^2A+1$。 令 $x=sin^2A$，则 $4(1-x)^{\frac{3}{2}}-3\sqrt{x}=-4x^2+3x+1$。 通过不断试错，可以得到 $x=\dfrac{1}{2}$，即 $sinA=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 因为 $3A$ 是锐角，所以 $A=20^{\circ}$。

代码实现

## 题目描述
已知 $tan3A=cot(A-30^{\circ})$，其中 $3A$ 是锐角。求 $A$ 的值。

## 解题思路
首先，我们可以将 $cot(A-30^{\circ})$ 转换为 $\dfrac{cos(A-30^{\circ})}{sin(A-30^{\circ})}$。
那么，原式就变成了 $\dfrac{sin3A}{cos3A}=\dfrac{cos(A-30^{\circ})}{sin(A-30^{\circ})}$。
根据三倍角公式，$sin3A=3sinA-4sin^3A$，$cos3A=4cos^3A-3cosA$。
将上述三倍角公式带入原式，得到 $3sinA-4sin^3A=\dfrac{cos(A-30^{\circ})}{sin(A-30^{\circ})}(4cos^3A-3cosA)$。
化简可得 $4cos^3A-3cosA=-4sin^4A+3sin^2A+1$。
令 $x=sin^2A$，则 $4(1-x)^{\frac{3}{2}}-3\sqrt{x}=-4x^2+3x+1$。
通过不断试错，可以得到 $x=\dfrac{1}{2}$，即 $sinA=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
因为 $3A$ 是锐角，所以 $A=20^{\circ}$。