计数奇偶整数集合位

本文介绍如何计数长度为 N 的数字串中，同时包含 K 个奇数和 K 个偶数的集合位的个数。

问题描述

在长度为 N 的数字串中，同时包含 K 个奇数和 K 个偶数的集合位的个数是多少？

例如，当 N = 4，K = 2 时，数字串为 1249。该数字串中有两个奇数（1 和 9）、两个偶数（2 和 4），因此它是合法的。

解决方案

我们可以使用动态规划来解决这个问题。

定义 dp[i][j][k] 表示前 i 个数字中有 j 个奇数和 k 个偶数的集合位的个数。

则有以下转移方程：

• 当数字串的第 i 位是奇数时，dp[i][j][k] = dp[i-1][j-1][k] + dp[i-1][j][k-1]；
• 当数字串的第 i 位是偶数时，dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-1][k-1]。

其中，dp[i-1][j-1][k] 表示在前 i-1 个数字中有 j-1 个奇数和 k 个偶数的集合位，加入一个奇数后可以凑成有 j 个奇数和 k 个偶数的集合位；dp[i-1][j][k-1] 表示在前 i-1 个数字中有 j 个奇数和 k-1 个偶数的集合位，加入一个奇数后可以凑成有 j 个奇数和 k 个偶数的集合位。

初始值为 dp[0][0][0] = 1。

最终的答案即为 dp[N][K][K]。

代码实现

def count_sets(n, k):
    dp = [[[0] * (k+1) for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]
    dp[0][0][0] = 1

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(k+1):
            for l in range(k+1):
                if i % 2 == 0:
                    dp[i][j][l] = dp[i-1][j][l] + (dp[i-1][j-1][l-1] if j >= 1 and l >= 1 else 0)
                else:
                    dp[i][j][l] = dp[i-1][j][l] + (dp[i-1][j-1][l] if j >= 1 else 0)

    return dp[n][k][k]

性能分析

该算法的时间复杂度为 O(n*k*k)，空间复杂度为 O(n*k*k)。

当 n 和 k 的范围较小时，可以在短时间内求得答案。如果串长较大，则需要优化算法以提高效率。