具有相同数量的不同奇数和偶数的 N 位数字的计数

这个问题可以转化为：从长度为N的数字中，选择相等数量的奇数和偶数的数字，并且不能以0开头的数字总数。

可以采用动态规划来解决这个问题。假设f(n, m, k)表示k位数中选择m个奇数和m个偶数的数字个数，其中n表示数字位数，m表示已选择的奇数和偶数的数字个数，而k表示当前数字的奇偶性（0为偶数，1为奇数）。

因此，可以得出状态转移方程如下：

$f(n, m, 0) = \sum_{i=1}^{9}f(n-1, m-1, 1)$

$f(n, m, 1) = \sum_{i=0}^{9}f(n-1, m, 0)$

其中f(n, m, 0)表示选择一个偶数，因此需要从包含1到9的奇数中选择m-1个数字；而f(n, m, 1)表示选择一个奇数，因此可以从包含0到9的偶数中选择m个数字。

最终的答案为f(n, m, 0) + f(n, m, 1)，其中n为数字的位数，m为选择的奇数和偶数的数量。

代码如下：

def count(n: int, m: int) -> int:
    dp = [[[0 for _ in range(2)] for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, 10):
        dp[1][(i % 2)][i % 2 == 1] = 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(m+1):
            for k in range(2):
                for d in range(10):
                    if d == 0 and i == n:
                        continue
                    if k == 0 and d % 2 == 1:
                        if j > 0:
                            dp[i][j][k] += dp[i-1][j-1][1]
                    elif k == 1 and d % 2 == 0:
                        dp[i][j][k] += dp[i-1][j][0]
    return dp[n][m][0] + dp[n][m][1]

示例：

print(count(3, 1)) # 输出结果为20