勒让德的猜想

简介

勒让德的猜想（又称素数分布猜想）是一个有关素数分布的假设，由法国数学家勒让德在19世纪初期提出。

该猜想认为，对于任意正整数n，小于n的素数个数π(n)与n/ln(n)的差距越来越小，即：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n/\ln(n)}=1$$

该猜想至今尚未被证明或证伪，是数学家们关于素数分布的长期研究课题之一。

程序员的应用

研究素数的分布

作为程序员，我们可以用计算机来研究素数的分布情况。可以通过编写程序来计算小于某个数的素数个数，并将其与该数除以ln(该数)的值进行比较，观察它们之间的差距。

下面是一个用Python实现的示例代码：

import math

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n))+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def prime_count(n):
    count = 0
    for i in range(2, n+1):
        if is_prime(i):
            count += 1
    return count

def lehmer_ratio(n):
    return prime_count(n) / (n / math.log(n))

n = 1000000
print(lehmer_ratio(n)) # 打印出小于1000000的自然数中素数个数与n/ln(n)的比值

素数生成器

除了研究素数的分布，程序员还可以编写程序来生成素数。可以采用一些常见的算法，比如埃拉托斯特尼筛法、欧拉筛等。

下面是一个用Python实现的埃拉托斯特尼筛法的例子：

def eratosthenes(n):
    primes = [True] * (n+1)
    primes[0] = primes[1] = False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if primes[i]:
            for j in range(i*i, n+1, i):
                primes[j] = False
    return [i for i in range(n+1) if primes[i]]

print(eratosthenes(100)) # 打印出小于100的所有素数

总结

勒让德的猜想是一个有关素数分布的假设，至今尚未被证明或证伪。作为程序员，我们可以用计算机来研究素数的分布情况，也可以编写程序来生成素数。