从不能被 K 整除的索引中找到具有最大数字乘积的数组元素

问题描述

给定一个长度为 n 的正整数数组 nums，其中所有元素都小于等于 100，同时给定一个正整数 K。请你从 nums 中选出若干个元素，使得这些元素在原数组中的下标均满足不能被 K 整除，并且这些元素的乘积最大。输出这个最大乘积。

解题思路

由于题目要求不能选择下标能被 K 整除的元素，我们可以将数组 nums 拆分成 K 个数组，分别选择这 K 个数组的元素乘积的最大值。这样做的原因是，如果某个下标 i 能被 K 整除，那么这个下标和其他所有能被 K 整除的下标都不能同时被选中，因为它们除以 K 后的余数相同，相当于选择了同一个数组中的元素，不能满足“选若干个元素”的条件。

我们不妨先举个例子。假设 n=6，K=3，nums=[1,2,3,4,5,6]。那么我们将数组按下标对 3 取模的余数分为以下 3 个小数组：

1. 下标对 3 取模余数为 0 的元素：[1, 4]
2. 下标对 3 取模余数为 1 的元素：[2, 5]
3. 下标对 3 取模余数为 2 的元素：[3, 6]

接着我们分别计算这三个小数组中元素的乘积的最大值：

1. [1, 4] 的最大乘积为 4。
2. [2, 5] 的最大乘积为 10。
3. [3, 6] 的最大乘积为 18。

最后，我们将这三个小数组中的最大乘积相乘，即 4 * 10 * 18 = 720，即为答案。

代码实现

def max_product(nums, k):
    """
    :type nums: List[int]
    :type k: int
    :rtype: int
    """
    n = len(nums)
    max_prods = [0] * k

    for i in range(k):
        max_prod = 0
        for j in range(i, n, k):
            max_prod = max(max_prod, nums[j])

        max_prods[i] = max_prod

    return reduce(lambda x, y: x * y, max_prods)

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 nums 的长度。遍历数组 nums 的时间复杂度是 $O(n)$，每个元素只会被遍历一遍。
• 空间复杂度：$O(k)$，存储每个小数组中的最大值需要 $k$ 个空间。