哈密顿循环数

哈密顿循环数（Hamiltonian cycle numbers）指的是一个无向图中，不同的哈密顿回路的数量。哈密顿回路是指一个上面所有节点都出现了，但只经历了一次的回路。哈密顿循环数常常用作图论的研究方向之一，而计算哈密顿循环数也成为一个重要的数学问题。

求解哈密顿循环数

由于计算哈密顿循环数是一个NP-hard问题，因此对于大规模的图而言，可能需要较长的时间来求解哈密顿循环数。

现有的求解哈密顿循环数的算法可以归为两类：精确算法和启发式算法。在精确算法中，Exact Adleman-Pomerance-Rumely algorithm (EAPR) 和Peterson骨架算法是两个重要的求解哈密顿循环数的算法。而在启发式算法中，Branch-and-Bound算法被广泛应用于大量计算哈密顿循环数的问题上。

精确算法

EAPR算法

EAPR算法是由Adleman, Pomerance和Rumley共同提出的计算哈密顿循环数的算法。这个算法主要基于组合数学和证明复杂性最小的素性测试算法设计而成。

Peterson骨架算法

Peterson骨架算法是计算哈密顿循环数的另一种经典算法。这个算法主要通过比较、计数等组合数学手段实现了计算哈密顿循环数的功能。

启发式算法

Branch-and-Bound算法

在许多情况下，我们可以使用Branch-and-Bound算法来寻找哈密顿循环数的下界和上界。 Branch-and-Bound算法是一种将搜索空间分割为许多子空间，然后根据一些启发式规则来搜索各子空间的方法。该算法可以帮助我们逐步减少搜索空间的规模，从而大幅度缩短计算时间和计算资源的消耗。

示例代码

下面是使用Python实现的Branch-and-Bound算法的示例：

from itertools import permutations

def get_hamiltonian_cycles(graph):
    n = len(graph)
    nodes = set(range(n))

    def is_hamiltonian_cycle(path):
        return (len(set(path)) == n and       # visit all nodes
                path[0] in graph[path[-1]] and # end should connect to the first
                all(path[i+1] in graph[path[i]] for i in range(n-1))) # other nodes should be connected

    def dfs(start, path):
        if len(path) == n:
            return is_hamiltonian_cycle(path)

        for next_node in graph[path[-1]]:
            if next_node in path:
                continue  # don't visit the same node twice
            path.append(next_node)
            if dfs(start, path):
                return True
            path.pop()

        return False

    cycles = []
    for start in range(n):
        if dfs(start, [start]):
            path = [x + 1 for x in path]
            cycles.append(path)

    return cycles

graph = [[0, 1, 1, 1],
         [1, 0, 1, 1],
         [1, 1, 0, 1],
         [1, 1, 1, 0]]

cycles = get_hamiltonian_cycles(graph)
print(cycles)

该例子实现了求解给定图的所有哈密顿回路。在示例代码运行前，需要谨慎检查节点和边的数量以及节点的连接关系，以保证结果的正确性。