哈密顿路径 (使用动态规划)

简介

哈密顿路径是一种求解在无向图中找到一条包含每个节点恰好一次的路径的问题。该问题是一个NP完全问题，但是可以使用动态规划算法来有效地解决。

解法

首先定义DP数组：$dp_{i,j}$ 表示从节点 1 到节点 i，经过集合 S={2,3,...,j} 中的所有节点的最短路径长度。则最终答案就是 $dp_{n,n}$。

接下来，需要考虑转移方程。对于每个节点 i 和集合 S，新的集合 S' 是将节点 j (j∈S-S') 添加到 S 中得到的集合。则节点 i 到节点 j 的最短路径是 $l_{i,j}$，那么DP方程如下：

$$dp_{i,S} = \min_{j \in S', j \neq i}(dp_{j, S-S'}+l_{i,j})$$

该DP方程表示，节点 i 的最短路径就是从节点 j 出发，在经过集合 S-S' 中的所有节点之后再到达节点 i。同时，需要枚举所有 S' 的子集。

具体代码如下：

INF = float('inf') # 无穷大
n = int(input()) # 节点数量
graph = [[0] * n for _ in range(n)] # 初始化图
for i in range(n):
    line = input().split()
    for j in range(n):
        graph[i][j] = int(line[j])
        
dp = [[INF] * n for _ in range(1<<n)] # 初始化DP数组
dp[1][0] = 0 # 节点0到节点0的最短路径为0
for i in range(1<<n):
    if i&(1<<0) == 0: # 如果集合S不包含节点0，则跳过
        continue
    for j in range(n):
        if i&(1<<j) == 0: # 如果集合S不包含节点j，则跳过
            continue
        S_remove_j = i^(1<<j) # 集合S-S'
        for k in range(n):
            if S_remove_j&(1<<k) == 0: # 如果集合S-S'不包含节点k，则跳过
                continue
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[S_remove_j][k]+graph[k][j]) # DP方程
        
print(dp[(1<<n)-1][n-1]) # 输出结果

总结

哈密顿路径问题是一个经典的NP完全问题，但是动态规划算法可以在多项式时间内找到最优解。通过定义DP数组并设计适当的DP方程，可以高效地解决该问题。