哈密顿路径（使用动态规划）

什么是哈密顿路径？

哈密顿路径是指一条经过图中所有顶点恰好一次的路径，顶点的经过顺序不限。哈密顿问题是NP完全问题，也是著名的旅行商问题的特例。

例如，对于以下图：

A--B
|  |
C--D

它的一个哈密顿路径就是A->B->D->C或者B->A->C->D等。

如何使用动态规划解决哈密顿路径问题？

动态规划通常是解决最优化问题的一种有效方法，而哈密顿路径问题也是一个最优化问题，因此使用动态规划可以解决这个问题。

具体来说，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]表示从起点到第i个顶点，经过了j个顶点的最短路径。可以使用状态转移方程：

dp[i][j] = min(dp[k][j-1] + dist(k, i))  (k表示从起点到i的所有可能中，经过了j-1个顶点的顶点)

最终的哈密顿路径长度就是dp[n][n-1]，其中n是图中顶点的数量，起点和终点都为0。

代码示例

下面是一个用Python实现的解决哈密顿路径问题的动态规划算法：

def hamilton_path(graph):
    n = len(graph)
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)]
    dp[1][0] = 0
    for mask in range(1, 1 << n):
        for i in range(n):
            if mask & (1 << i):
                for j in range(n):
                    if i != j and mask & (1 << j):
                        dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask^(1<<i)][j] + graph[j][i])
    return dp[(1<<n)-1][0]

其中，graph是一个二维数组，表示图的邻接矩阵。

该算法的时间复杂度为$O(n^2 \cdot 2^n)$，空间复杂度为$O(n \cdot 2^n)$。