数学 |欧拉路径和哈密顿路径

先决条件 –图论基础
某些图问题涉及在两个顶点之间找到一条路径，使得每条边都经过恰好一次，或者在访问每个顶点一次的同时找到两个顶点之间的路径。这些路径分别被称为欧拉路径和哈密顿路径。

欧拉路径问题最早是在 1700 年代提出的。

欧拉路径和电路：

• 欧拉路径是只使用图的每条边一次的路径。
• 欧拉电路是一种只使用图的每条边一次的电路。
• 欧拉路径在不同的顶点开始和结束。
• 欧拉回路在同一个顶点开始和结束。

柯尼斯堡桥问题的图形表示：

确定多重图是否具有欧拉路径或欧拉回路有简单的标准。对于任何具有欧拉回路的多重图，所有顶点的度数必须是偶数。

定理 – “具有至少两个顶点的连通多重图(和简单图)具有欧拉回路当且仅当其每个顶点的度数为偶数。”

上述陈述的证明是，回路每经过一个顶点，它的度数就增加了两倍。由于它是一个回路，它在同一个顶点开始和结束，这使得它在回路开始时贡献一个度数，在回路结束时贡献一个度数。这样，每个顶点都有一个偶数。
由于 Koningsberg 图的顶点度数为奇数，因此图中不存在欧拉回路。

定理—— “连通多重图(和简单图)有欧拉路径但没有欧拉回路，当且仅当它恰好有两个奇数顶点。”

该证明是上述证明的扩展。由于路径可能在不同的顶点开始和结束，因此允许路径开始和结束的顶点具有奇数度。

• 示例 –下面显示的哪些图形具有欧拉路径或欧拉回路?

• 解决方案 – $G_{1}$有两个奇数顶点$a$和$d$其余人甚至有学位。所以这个图有欧拉路径但没有欧拉回路。路径在奇数顶点处开始和结束。路径是—— $a, c, d, a, b, d$ .
  $G_{2}$有四个顶点都是偶数，所以它有一个欧拉回路。电路是—— $a, d, b, a, c, d, a$ .

哈密顿路径和回路：

哈密顿路径——图中的简单路径$G$只通过每个顶点一次的称为哈密顿路径。

哈密顿回路——图中的简单回路$G$只通过每个顶点一次的称为哈密顿回路。

与欧拉路径和回路不同，没有简单的必要且充分的标准来确定图中是否存在任何哈密顿路径或回路。但是有一些标准可以排除图中存在哈密顿回路，例如，如果图中存在一个度为 1 的顶点，那么它就不可能有哈密顿回路。
有一些定理给出了哈密顿图存在的充分但非必要条件。

狄拉克定理—— “如果$G$是一个简单的图形$n$顶点与$n\geq 3$使得每个顶点的度数$G$至少是

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
 

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

，那么$G$有一个哈密顿回路。”

矿石定理—— “如果$G$是一个简单的图形$n$顶点与$n\geq 3$以至于$deg(u) + deg(v) \geq n$对于每对不相邻的顶点$u$和$v$在$G$ ， 然后$G$有一个哈密顿回路。”

如上所述，上述定理是图中存在哈密顿回路的充分条件而非必要条件，也有某些图具有哈密顿回路但不符合上述定理中的条件。例如，循环$C_{5}$有哈密顿回路但不遵循定理。

注： K _n是哈密顿回路$n \geq 3$

通过寻找最优哈密顿回路可以解决许多实际问题。一个这样的问题是旅行商问题，它要求通过一组城市的最短路线。

• 示例 1 –下图是否有哈密顿回路?

• 解决方案 –是的，上图有一个哈密顿回路。解决办法是——

• 示例 2 –下图是否有哈密顿回路?

• 解决方案 –不，上图没有哈密顿回路，因为图中有两个度数为 1 的顶点。

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。

1. GATE CS 2007，问题 23
2. GATE CS 2005，问题 84
3. GATE CS 2008，问题 26

参考-

欧拉路径 – 维基百科
哈密顿路径 – 维基百科
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen