哈密顿路径（使用动态规划）

哈密顿路径是指通过图中每一个顶点恰好一次且不重复地经过的路径。在计算机科学领域中，哈密顿路径是一种经典的NP完全问题。使用动态规划算法可以有效地解决哈密顿路径问题。

动态规划

动态规划是一种用于解决复杂问题的算法技术。它将问题分解为许多子问题，通过解决子问题来解决整个问题。动态规划通过存储和重用子问题的解来减少计算时间，从而提高了算法的效率。

哈密顿路径

如上所述，哈密顿路径是指通过图中每一个顶点恰好一次且不重复地经过的路径。哈密顿路径问题是一个经典的NP完全问题，因此没有已知的多项式时间算法来解决它。但是，使用动态规划可以在实际情况下解决较小规模的问题。

动态规划解决哈密顿路径问题

动态规划解决哈密顿路径问题的关键是定义状态和转移方程。

首先，定义状态。对于一个哈密顿路径问题，我们需要找到一条路径，它经过每个顶点恰好一次。因此，我们可以定义状态为f[S][i]，表示经过集合S中的所有点，最后到达顶点i的哈密顿路径的长度。其中，集合S是顶点的一个子集，i∈S。

然后，我们需要定义转移方程。对于一个状态f[S][i]，它可以从f[S-{i}][j]转移而来，其中j是在集合S-{i}中的一个点。转移方程如下：

f[S][i] = min(f[S-{i}][j] + dis[j][i])，其中j∈S-{i}

其中，dis[j][i]表示点j到点i的距离（或路径长度）。上述转移方程可以理解为：从集合S-{i}中的任意一个点j出发，经过点i后到达终点的最短路径长度。

使用动态规划算法计算哈密顿路径的时间复杂度为O(2^nn^2)，空间复杂度为O(2^nn)。

代码实现

def hamilton_path(dist):
    n = len(dist)
    f = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)]
    f[1][0] = 0
    for S in range(1 << n):
        for i in range(n):
            if S & (1 << i): # i in S
                for j in range(n):
                    if S - (1 << i) & (1 << j): # j in S-{i}
                        f[S][i] = min(f[S][i], f[S-(1<<i)][j] + dist[j][i])
    return f[(1<<n)-1][n-1]

上述代码中，dist是一个二维列表，表示图中各个顶点之间的距离或路径长度。函数返回从顶点0出发经过所有顶点恰好一次后回到顶点0所需的最短路径长度。

总结

哈密顿路径是一个经典的NP完全问题，使用动态规划算法可以在实际情况下解决较小规模的问题。定义状态和转移方程是动态规划解决问题的关键。对于哈密顿路径问题，我们可以定义状态为f[S][i]，表示经过集合S中的所有点，最后到达顶点i的哈密顿路径的长度。转移方程为f[S][i] = min(f[S-{i}][j] + dis[j][i])，其中j∈S-{i}。