通过删除相等元素的连续子数组来最大化清空数组的成本

问题描述

给定一个长度为n的整数数组，每次可以选择任意一个相等元素的连续子数组，并将其删除，将删除操作的代价计入总代价。通过多次删除操作，使得数组最终为空，求最小的总代价。

解决方案

动态规划

可以使用动态规划求解，定义dp[l][r]为删除[l, r]区间中相等元素的最小代价。

则当nums[l] == nums[r]时，有两种选择：

• 不删，此时子问题转化为dp[l+1][r-1]
• 删，此时要先删除[l+1,k-1]和[k+1,r-1]区间的相等元素，此时子问题转化为dp[l+1][k-1] + dp[k+1][r-1]

故dp[l][r]的转移方程为：

dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l+1][r-1])
if nums[l] == nums[r]:
    for k from l+1 to r-1:
        dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l+1][k-1] + dp[k+1][r-1])

时间复杂度为O(n^3)。

贪心

考虑到动态规划的时间复杂度较高，我们可以使用贪心算法进行优化。

首先，将原数组按相等元素分组，如[1, 1, 2, 2, 2, 1]分组为[1, 1]、[2, 2, 2]、[1]。因为在一组中，相同的元素可以一起删除，故我们只需要计算每组中相同元素的删除代价。

对于一组中的相同元素，我们可以选择删或不删，如果选择了删，则需要同时删除左右两侧的相等元素，即[l+1,k-1]和[k+1,r-1]区间内的相同元素，其中[l,r]为相等元素的区间。如果选择了不删，则代价为0。

在所有组的代价中，有一个特殊情况：如果一组中的相等元素数量小于3，则无论删或不删，代价都为0。因为此时不需要删除相等的元素，直接删除即可。

总代价即为所有组的删除代价之和。

时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)（存储每组中的相等元素数量）。

代码实现

动态规划

def minimumCost(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 0
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            if nums[i] == nums[j]:
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
                for k in range(i+1, j):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][k-1] + dp[k+1][j-1])
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1
    return dp[0][n-1]

贪心

def minimumCost(nums):
    costs = []
    i = 0
    while i < len(nums):
        j = i+1
        while j < len(nums) and nums[j] == nums[i]:
            j += 1
        if j-i < 3:
            # 相等元素不足3个，代价为0
            costs.append(0)
        else:
            # 计算删除代价
            cost = 1 + minimumCost(nums[:i] + nums[j:])
            for k in range(i+1, j-1):
                if nums[k] == nums[i]:
                    cost = min(cost, minimumCost(nums[:i] + nums[k+1:j]))
            costs.append(cost)
        i = j
    return sum(costs)

总结

本问题使用贪心算法可以做到O(n)的时间复杂度，但需要注意特殊情况。如果使用动态规划，则时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。在实际应用中，应根据具体情况选择算法。