最小化到 K 以内的整数的替换，使距离末尾的等距数组元素的总和相等

概述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，需要最小化 nums 中元素替换的数量，使得替换后的数组符合以下条件：

• 数组中元素是等差递增的。
• 数组中最后一个元素对应的值不超过 k。

要求输出最小替换次数。

解决方案

思路

为了使得替换次数最小，我们需要尽可能少的改变原有元素，只在必要时才添加新元素。

我们可以先计算出原数组的等差序列 $a$，然后计算其最后一个元素的值 $A$，并计算等差步长 $d$。接下来，如果 $A \leq k$，则无需进行替换；否则，我们可以使用 $a$ 的方式，添加一个新的等差序列 $b$，其最后一个元素的值为 $k$。最后，我们需要计算改变的次数，即为两个等差序列的长度之和减原等差序列的长度。

算法

代码

def minSteps(nums, k):
    n = len(nums)
    sum_ = 0
    for i in range(n-1):
        sum_ += nums[i+1] - nums[i]
    A = nums[-1]
    d = sum_ // (n - 1)
    cnt = 0
    
    if A <= k:
        return cnt
    
    # 添加一个等差序列
    x = (A - k) // d if (A - k) % d == 0 else (A - k) // d + 1
    B = k + x * d
    cnt = n + x - 2 # 替换次数
    return cnt

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度，我们需要遍历数组一次来计算原数组的等差序列、最后一个元素的值和等差步长。
• 空间复杂度：$O(1)$，我们仅需要常数的额外空间。