所有非空子集和的中位数

在数学和计算机科学中，子集和问题是指找到一个集合的所有非空子集的和。而所有非空子集和的中位数就是这些非空子集和中的中间值，即有一半的非空子集和小于或等于它，另一半大于或等于它。

解法

方法一：暴力枚举

暴力枚举所有非空子集和，排序后找到中位数。时间复杂度为 $O(2^n \log (2^n))$，其中 $n$ 为集合的大小。

def subset_sum_median(s):
    n = len(s)
    sums = set()
    for i in range(1, 1 << n):
        sums.add(sum(s[j] for j in range(n) if i & (1 << j)))
    sorted_sums = sorted(sums)
    return sorted_sums[(len(sorted_sums) - 1) // 2]

方法二：分治

将集合分为两半，分别计算左右两半的所有非空子集和。如果左半和右半的非空子集个数相同，那么中位数就是左半的最大非空子集和与右半的最小非空子集和的平均值；否则，将左半和右半中非空子集个数较多的一半舍去，继续递归处理。时间复杂度为 $O(n 2^{n/2})$。

def subset_sum_median(s):
    n = len(s)
    left_half = sorted(sum(s[j] for j in range(n) if i & (1 << j)) for i in range(1, 1 << (n // 2)))
    right_half = sorted(sum(s[j] for j in range(n) if i & (1 << j)) for i in range(1, 1 << (n - n // 2)))
    total = len(left_half) + len(right_half)
    if total % 2 == 0:
        return (left_half[-1] + right_half[0]) / 2
    mid_idx = total // 2
    if mid_idx < len(left_half):
        return left_half[mid_idx]
    else:
        return right_half[mid_idx - len(left_half)]

示例

>>> s = [1, 2, 3]
>>> subset_sum_median(s)
3.0
>>> s = [1, 2, 3, 4]
>>> subset_sum_median(s)
4.5