求所有奇数长度子数组的中位数之和

在一个整数数组中，一个长度为奇数的子数组的中位数就是这个子数组中间的那个数字，即排序后位于中间位置的数字。现在给定一个整数数组，求所有奇数长度子数组的中位数之和。

解法一：暴力枚举

我们可以用两层循环来枚举所有奇数长度的子数组，并计算它们的中位数。代码如下：

class Solution:
    def sumOddLengthSubarrays(self, arr: List[int]) -> int:
        n = len(arr)
        res = 0
        for length in range(1, n+1, 2):
            for i in range(n-length+1):
                sub = arr[i:i+length]
                sub.sort()
                mid = sub[length // 2]
                res += mid
        return res

时间复杂度为 O(N^3)，显然效率很低，无法通过本题。

解法二：前缀和

我们可以用前缀和优化上述方法。具体地，我们可以先计算出原数组的前缀和，然后枚举所有奇数长度的子数组，计算它们的中位数。由于我们已经知道子数组的和，因此可以用二分查找找到中位数的位置，进而计算出中位数。代码如下：

class Solution:
    def sumOddLengthSubarrays(self, arr: List[int]) -> int:
        n = len(arr)
        prefix = [0] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            prefix[i] = prefix[i - 1] + arr[i - 1]
        res = 0
        for length in range(1, n + 1, 2):
            for i in range(n - length + 1):
                j = i + length - 1
                mid = (i + j) // 2
                sum_ = prefix[j + 1] - prefix[i]
                if mid >= i and mid <= j:
                    res += arr[mid] * length
                else:
                    res += (sum_ - arr[mid]) * length
        return res

该算法时间复杂度为 O(N^2*logN)，可以通过本题。