所有奇数长度子数组的总和

在一个整数数组中，一个子数组为连续的一段元素组成的数组，我们可以通过遍历该数组来获取一系列子数组。

本次介绍是关于计算一个数组中所有奇数长度子数组的总和的算法。

算法介绍

方法一：暴力枚举

最简单的方法就是直接遍历该数组，枚举所有的子数组，计算它们的长度是否为奇数，并求和。算法的时间复杂度为 $O(n^3)$。

def sumOfAllOddLengthSubarrays(arr):
    n = len(arr)
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            for k in range(i, j+1):
                if (j-k+1) % 2 == 1:
                    res += arr[k]
    return res

方法二：数学规律

我们可以通过对于连续奇数长度子数组的数量的分析，得出它们对应的和的规律。

假设数组的长度为 $n$，那么长度为 $l$ 的子数组的数量为：$(n-l+1)$。如果 $l$ 为奇数，那么可以通过式子 $(l^2-1)//4$ 来计算出这些子数组的总和。我们可以遍历所有的奇数 $l$，将它们的数量乘以对应的和，最后将所有结果求和即可。

该算法的时间复杂度为 $O(n)$。

def sumOfAllOddLengthSubarrays(arr):
    n = len(arr)
    res = 0
    for l in range(1, n+1, 2):
        for i in range(n-l+1):
            j = i+l-1
            res += (l*l - 1) // 4 * (j-i+1)
    return res

总结

暴力枚举方法简单易懂，但是时间复杂度较高。而数学规律方法则能够通过一定的计算和分析，得出更加快速高效的算法。因此我们在实际开发中应该尝试使用数学规律来优化算法。