最长的山子阵列

山子阵列是指一个整数数组中，先递增后递减的一段连续子数组，也就是类似山峰的形状。例如，[2, 3, 4, 5, 4, 3, 2] 中的 [2, 3, 4, 5, 4, 3, 2] 就是一个山子阵列。

在一个整数数组中，找出最长的山子阵列的长度。

思路

本题可以用动态规划求解，首先可以设置两个数组：

• up[i] 表示以位置 i 结尾的最长递增子序列长度。
• down[i] 表示以位置 i 开始的最长递减子序列长度。

具体求解方法：

1. 从左往右扫描数组，计算以每个位置 i 结尾的最长递增子序列长度 up[i]，这里可以使用动态规划的思想，即 up[i] = max{up[j] + 1}(0≤j<i, a[j]<a[i]) 。

2. 从右往左扫描数组，计算以每个位置 i 开始的最长递减子序列长度 down[i]，同样可以使用动态规划的思想，即 down[i] = max{down[j] + 1}(i<j<N, a[j]<a[i])。

3. 对于每个位置 i，计算 up[i] + down[i] - 1 的值，并求出最大值，即为所求的最长山子阵列的长度。

代码实现

def longest_mountain(arr):
    n = len(arr)
    up = [1] * n
    down = [1] * n

    for i in range(1, n):
        if arr[i] > arr[i-1]:
            up[i] = up[i-1] + 1

    for i in range(n-2, -1, -1):
        if arr[i] > arr[i+1]:
            down[i] = down[i+1] + 1

    ans = 0
    for i in range(n):
        if up[i] > 1 and down[i] > 1:
            ans = max(ans, up[i] + down[i] - 1)

    return ans

对于输入为 [2, 3, 4, 5, 4, 3, 2] 的数组，运行 longest_mountain 函数将返回 7，表示该数组中的最长山子阵列的长度为 7。

时间复杂度

本算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度，因为算法只扫描了数组两遍。

空间复杂度

本算法的空间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度，因为算法需要创建两个数组来保存每个位置的最长递增子序列长度和最长递减子序列长度。