计算大小为k的递增子序列数

在计算机科学中，递增子序列是指序列中元素逐渐递增，并且元素的顺序与原序列相同的子序列。在这个主题中，我们要介绍如何计算大小为k的递增子序列数。

算法介绍

我们可以使用动态规划的方式来计算大小为k的递增子序列数。设$dp[i][j]$表示已经考虑了前$i$个元素，以第$i$个元素为结尾，长度为$j$的递增子序列数。则有如下递推式：

$$ dp[i][j] = \sum_{k=1}^{i-1}{dp[k][j-1]} [a_k < a_i] $$

其中，$[a_k < a_i]$为指示函数。如果$a_k < a_i$，则为1，否则为0。

意思是，对于前$i$个元素，以第$i$个元素结尾的长度为$j$的递增子序列数，等于前$i-1$个元素中，以前$k(k<i)$个元素为结尾，长度为$j-1$的递增子序列数之和，如果$a_k < a_i$。

最终，我们需要求的是$dp[n][k]$，即已经考虑了前$n$个元素，长度为$k$的递增子序列数。

代码实现

下面是使用Python实现的代码：

def calc_num_of_increasing_subseq(a, k):
    n = len(a)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][1] = 1
        for j in range(2, k+1):
            for m in range(1, i):
                if a[m-1] < a[i-1]:
                    dp[i][j] += dp[m][j-1]
    return dp[n][k]

以上是计算大小为k的递增子序列数的介绍。希望能对大家有所帮助！