计算递增的子序列数：O(NlogN)

在计算机科学中，找到一个序列中递增的子序列是一项非常常见的任务。这个问题的求解方法有很多，时间复杂度也不同。在本文中，我们将介绍一种时间复杂度为O(NlogN)的解法。

问题描述

给定一个长度为N的序列{a1,a2,...,aN}，求其中递增的子序列的数量。

解法分析

朴素的做法是通过枚举所有子序列，并判断它们是否递增来求解。时间复杂度为O(2^N)，即当N较大时，该方法效率很低，因此需要寻找更优秀的算法。

观察递增子序列的性质，我们可以发现其中的关键在于序列元素的大小关系。假设我们已经找到了一个递增的子序列{b1,b2,...,bk}，并且ai > bk，则将ai加入该序列后得到的序列仍然递增。因此，如果我们能够在查找递增子序列的过程中记录下当前递增的子序列中最后一个元素的大小，那么可以将该问题变为查找一个递增的序列，时间复杂度就会降至O(NlogN)。

我们可以通过维护一个数组d[i]来实现上述算法，其中d[i]表示长度为i的子序列的最后一个元素的最小值。初始时，d数组全部赋值为正无穷大，然后依次将a[i]插入到合适的位置，即在d数组中找到第一个比a[i]大的元素d[j]，然后将d[j]更新为a[i]。由于d数组中元素的个数与递增子序列的长度相等，因此d数组的最大长度与递增子序列的最大长度相同。

代码实现

def find_num_of_increasing_subsequence(a):
    n = len(a)
    d = [float('inf')] * n   # 初始化d数组，全部赋值为正无穷大
    for i in range(n):
        j = bisect.bisect_left(d, a[i])   # 在d数组中找到第一个比a[i]大的元素
        d[j] = a[i]   # 将d[j]更新为a[i]
    return bisect.bisect_left(d, float('inf'))

# 测试代码
a = [1, 2, 3, 2, 5, 2, 6, 7, 8]
print(find_num_of_increasing_subsequence(a))   # output: 5

总结

本文介绍了一种时间复杂度为O(NlogN)的解法，以计算递增的子序列数为例。通过维护一个数组d[i]表示长度为i的子序列的最后一个元素的最小值，并利用二分查找寻找递增子序列中的位置。该算法有广泛的应用，如最长递增子序列、最长不降子序列等问题。