计数增加子序列的数量：O(NlogN)

简介

增加子序列是指序列中的数出现的先后顺序不变，但是位置不一定相邻，且数值递增的序列。计数增加子序列的数量是一道常见的算法问题，它的时间复杂度为O(NlogN)。

解题思路

本题的解题思路主要是基于动态规划的思想。假设dp[i]表示以第i个数结尾的最长递增子序列的长度，那么状态转移方程就是dp[i] = max(dp[j]+1)，其中 j < i 且 nums[j] < nums[i]。这个方程表明，如果第i个数要与前面的某个数构成递增子序列，它必须在这个子序列的结尾位置，而且前面的这个子序列也必须是以递增的方式构成的。

但是，仅仅求解最长递增子序列的长度依然不足以解决这个问题，因为有可能存在长度相同但是位置不同的递增子序列。为了避免重复计算，我们可以在求解dp[i]的过程中，将所有长度为dp[i]-1的递增子序列的结尾位置都记录下来，然后将当前位置i插入到这些子序列后面，从而得到一些新的递增子序列。这样做的时间复杂度为O(N^2)，效率较低，无法通过本题。

考虑使用一种更为高效的算法，即利用二分查找的方法减少时间复杂度。我们定义一个数组d，d[k]表示长度为k的递增子序列的结尾元素的最小值。假设当前处理到第i个数时，它属于某个长度为len的递增子序列，那么可以得出结论：只有在d[len+1]时才需要更新d数组。因为如果i的值大于长度为len的任何一个递增子序列的结尾值，那么它可以插入该子序列后面，形成一个长度更长的递增子序列。如果i的值小于长度为len的任何一个递增子序列的结尾值，那么它可以替换掉该子序列的结尾值，因为替换后结果一定不劣。通过二分查找可以快速定位i在d数组中的位置，并进行相应的更新。最终得到的d数组长度就是所求的最长递增子序列长度。

最后，我们可以使用一个单调递增的栈，从右到左依次遍历原始序列，将每个元素处于何种长度的递增子序列对应的方案数都统计出来，最终得到的就是所有递增子序列的方案数之和。

代码示例

def count_increasing_subsequences(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    d = [float('inf')] * (n+1)
    d[1] = nums[0]
    cnt = [0] * (n+1)
    cnt[1] = 1
    ans = 0
    for i in range(1, n):
        left, right = 1, i+1
        while left < right:
            mid = (left + right) // 2
            if d[mid] < nums[i]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid
        len = left
        dp[i] = len
        d[len] = min(d[len], nums[i])
        cnt[len] += cnt[len-1]
        ans += cnt[len-1]
    return ans

总结

本题的解题思路比较复杂，需要对动态规划、二分查找等算法有一定的了解。但只要掌握了这些算法，题目并不难求解，时间复杂度也能保证在O(NlogN)之内。