最近的一对点 | O(nlogn) 实现

简介

最近的一对点问题，是求解平面上两个点距离最近的问题。它在计算几何中占有重要的地位。最近点对问题的输入是一个平面上的点集合 S，输出 S 中距离最近的两个点之间的距离。

算法的时间复杂度通常是 O(nlogn)，因为暴力枚举的复杂度是 O(n^2)级别的。

思路

最近点对问题（Closest Pair Problem）是一道经典的计算几何问题，可以用分治法来很好地解决。具体来说，分治法是将点集合分成左右两半，寻找左半部分和右半部分的最近点对，以及与分割线相距最近的一对点，然后在这些点中找到最近的一对点。

具体实现上，考虑对点集 S 按照横坐标进行升序排序，然后进行分治，将点集合分成左右两部分。我们假设左半部分的点集分别是 L，右半部分的点集分别是 R。

然后进行递归操作，在左半部分找到最近的一对点 d1 和 d2，在右半部分找到最近的一对点 d3 和 d4，比较 d1 和 d3、d1 和 d4、d2 和 d3、d2 和 d4 以及最近点对跨越中间线的点，以求得最短距离。

代码实现

下面是具体代码实现：

import math

def distance(p1, p2):
    """
    计算两个点之间的距离
    """
    return math.sqrt((p1[0]-p2[0])**2 + (p1[1]-p2[1])**2)

def closest_pair(p):
    """
    查找最近的一对点
    """
    n = len(p)
    if n <= 3:
        return brute_force(p)
    mid = n//2
    midx = p[mid][0]
    dl = closest_pair(p[:mid])
    dr = closest_pair(p[mid:])
    d = min(dl, dr)
    strip = []
    for i in range(n):
        if abs(p[i][0]-midx) < d:
            strip.append(p[i])
    return min(d, strip_closest(strip, d))

def brute_force(p):
    """
    暴力枚举计算点集中的最近点对
    """
    n = len(p)
    min_distance = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            d = distance(p[i], p[j])
            if d < min_distance:
                min_distance = d
    return min_distance

def strip_closest(strip, d):
    """
    在跨越中间线的点中查找最近的一对点
    """
    n = len(strip)
    min_distance = d
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if strip[j][1] - strip[i][1] > d:
                break
            d = distance(strip[i], strip[j])
            if d < min_distance:
                min_distance = d
    return min_distance

总结

最近点对问题是一道十分经典的计算几何问题，应用非常广泛。通过分治算法的思想，我们可以使用 O(nlogn) 的时间复杂度进行求解。要求解该问题，需要采用多种技巧，包括排序、递归等。