最近的一对点 | O(nlogn) 实现

最近的一对点（Closest Pair Problem）是计算几何中的一个经典问题，给定平面上的 $n$ 个点，找出其中距离最近的一对点。这个问题可以用 $O(n^2)$ 的暴力算法解决，但我们可以使用分治思想设计一个 $O(n\log n)$ 算法。

算法思路

假设我们已经将所有点按照横坐标排序并分成了两个部分 $L$ 和 $R$，那么最近的一对点要么在 $L$ 中，要么在 $R$ 中，要么横跨两个部分。我们可以分别找出 $L$ 和 $R$ 中的最近点对，然后再考虑横跨两个部分的情况。设两个距离最近的点分别在 $L$ 和 $R$ 中，它们的距离为 $d$。显然，横跨两个部分的最近点对要么在竖直线 $x=\mathrm{mid}$ 左侧或右侧，要么跨越竖直线 $x=\mathrm{mid}$。

我们可以将竖直线 $x=\mathrm{mid}$ 左侧距离竖直线 $x=\mathrm{mid}$ 的距离不超过 $d$ 的点加入一个单独的数组 $S$ 中，然后按照纵坐标排序。接下来，我们从 $S$ 中每个点出发，与 $S$ 中之后的若干个点计算距离。显然，每个点只需要计算与距离之差不超过 $d$ 的后续点即可。由于 $S$ 中最多只有 $6$ 个点在任意一个区间内，所以每个区间的复杂度为 $O(1)$。在所有的区间中选取距离最近的一对点即可。

代码实现

下面是最近点对问题的 $O(n\log n)$ 实现的代码片段，使用了 Python 语言：

from math import sqrt

def dist(p, q):
    return sqrt((p[0]-q[0])**2 + (p[1]-q[1])**2)

def closest_pair(L, R):
    if len(L) < 2:
        return float('inf')
    elif len(L) == 2:
        return dist(L[0], L[1])
    else:
        mid = (L[-1][0] + R[0][0]) // 2
        dl = closest_pair(L, [p for p in R if p[0] < mid])
        dr = closest_pair([p for p in L if p[0] >= mid], R)
        d = min(dl, dr)
        S = [p for p in L if mid - p[0] <= d] + [p for p in R if p[0] - mid <= d]
        S.sort(key=lambda p: p[1])
        for i in range(len(S)):
            for j in range(i+1, len(S)):
                if S[j][1] - S[i][1] > d:
                    break
                d = min(d, dist(S[i], S[j]))
        return d

上面的代码先定义了一个计算距离的函数 dist(p, q)，然后定义了一个递归函数 closest_pair(L, R)，其中 L 和 R 分别表示点集左半部分和右半部分。如果 L 中只有一个点，我们返回正无穷大。如果 L 中有两个点，我们直接计算它们的距离。否则，我们计算 L 和 R 中的最近点对距离，然后获取距离竖直线 $x=\mathrm{mid}$ 不超过 $d$ 的点到 $S$ 中，并按照纵坐标排序。最后，我们枚举 $S$ 中的点对，找到最近的一对点对距离。

总结

最近点对问题是计算几何中的一个经典问题，它可以使用分治思想设计一个时间复杂度为 $O(n\log n)$ 的算法。这个算法的实现依赖于两个关键的步骤：计算横跨 $L$ 和 $R$ 的最近点对距离，以及计算横跨竖直线 $x=\mathrm{mid}$ 的最近点对距离。需要注意的是，在计算横跨竖直线 $x=\mathrm{mid}$ 的最近点对距离时，我们需要对 $S$ 中的点按照纵坐标排序，以保证时间复杂度为 $O(n)$。