计算大小为 k 的递增子序列的数量

在计算机科学中，一个问题的解决方案是算法。算法是一组明确定义的步骤，用于解决特定的问题。本文将介绍如何使用动态规划算法来计算大小为 k 的递增子序列的数量。该问题中，给定一个序列，计算其所有长度为 k 的递增子序列的数量。

动态规划算法

动态规划算法在计算数量问题中广泛应用。该算法的主要思想在于将大的问题划分为小的个体问题，并计算其值。我们使用动态规划算法来解决计算大小为 k 的递增子序列的数量问题。动态规划的步骤如下：

1. 定义状态：定义状态是指明确问题要解决的内容。在该问题中，我们要求一个长度为 k 的递增子序列，因此，我们定义一个状态 dp[i][j]，表示前 i 个元素中选 j 个元素形成递增子序列的数量。

2. 状态转移方程：状态转移是指当前状态与之前状态的关系。在该问题中，我们需要使用一个嵌套循环依次计算 dp[i][j] 的值。当nums[i] > nums[j]时，dp[i][j] 的值就等于dp[i-1][j-1]的值加上dp[i-1][j]的值。而当nums[i] <= nums[j]时，dp[i][j] 的值就等于dp[i-1][j]的值。

def calc_inc_subseq(nums, k):
    n = len(nums)
    # 定义状态
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    # 初始化状态
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1
    # 状态转移
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            if nums[i-1] > nums[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    # 返回结果
    return dp[n][k]

示例

假设有一个列表 [1, 2, 3, 4, 5]，我们要求列表中长度为 3 的递增子序列的数量，则运行如下代码：

nums = [1, 2, 3, 4, 5]
k = 3
result = calc_inc_subseq(nums, k)
print(result)

输出结果为：

10

因此，列表 [1, 2, 3, 4, 5] 中长度为 3 的递增子序列的数量为 10。