以最低成本连接 n 根绳索

在问题描述中，我们需要以最低成本将 n 根绳索连接起来，即找到一种方法，使得连接 n 根绳索的总成本最小。

解决思路

由于这个问题很明显是一种最小生成树问题，我们可以考虑使用 Kruskal 算法来解决。

算法思路

1. 将每根绳索作为一个节点。

2. 根据每根绳索的成本构建边，将所有边按照成本从小到大排序。

3. 使用并查集来判断当前边所连接的两个节点是否在同一个连通分量中。如果不在，则将这两个节点连接起来，并且将这条边加入最小生成树中。

4. 重复步骤 3 直到所有节点都被连接起来。

其中，步骤 3 和步骤 4 也可以使用 Prim 算法来实现。

时间复杂度

由于 Kruskal 算法的时间复杂度大致是优化后的 O(E log E)，其中 E 表示边的数量，因此在这个问题中，时间复杂度为 O(n log n)。

代码实现

下面是 Python 代码的实现，其中使用了并查集来判断两个节点是否连通：

def find(parent, i):
    if parent[i] == -1:
        return i
    return find(parent, parent[i])

def union(parent, x, y):
    xset = find(parent, x)
    yset = find(parent, y)
    if xset != yset:
        parent[xset] = yset

def kruskalMST(cost, n):
    result = []

    # 将所有边按照成本从小到大排序
    cost = sorted(cost, key=lambda x: x[2])

    # 初始化并查集
    parent = [-1] * n

    # 逐一连接每一个节点
    for i in range(n):
        # 找到两个节点所在的集合
        x = find(parent, cost[i][0])
        y = find(parent, cost[i][1])

        # 如果两个节点不在同一个集合中，那么将它们连接起来并将边加入最小生成树中
        if x != y:
            result.append(cost[i])
            union(parent, x, y)

    return result

总结

在本问题中，我们使用 Kruskal 算法将 n 根绳索连接起来的总成本最小化。由于该算法时间复杂度较低，因此在实际应用中也得到了广泛使用。