门| GATE-CS-2017（套装1）|问题 27

这是一道关于图论算法的问题，要求找出图中的最小生成树（Minimum Spanning Tree）。我们可以使用其中一个最著名的算法：Prim's Algorithm。

Prim's Algorithm是一种贪心算法，它以一点为起始点，逐步将其他顶点添加到树中，直到所有的顶点都已经被添加。在此过程中，我们始终添加与已连接部分最近的顶点。这就是为什么它是贪心算法的原因。

对于每个新顶点，我们需要一种方法来检查它是否已经被连接到已连接部分。我们可以用一个数组 key 来保存每个顶点到已连接部分的距离，也就是该顶点与最邻近已连接顶点之间的边的权重。如果一个顶点已经被连接，那么 key 值就被设为无穷大。

我们需要一个辅助函数来找到每次迭代中的最近顶点。这个函数可以很容易地用一个线性搜索来实现，但效率比较低，因为它需要遍历整个 key 数组。更优秀的实现方法是使用堆（优先队列），因为它可以在时间复杂度为 $O(\log n)$ 的时间内找到最小值。我们将所有未连接的顶点加入堆中，并将它们的距离（即 key 值）作为键值。对于每次迭代，我们只需要从堆中弹出最小的键值对应的顶点，并将其标记为已连接，然后更新它的所有邻居顶点的 key 值。

具体而言，Prim's Algorithm 的步骤如下：

1. 初始化生成树为空。
2. 选择一个起始顶点，标记为已连接。
3. 将该顶点的所有邻居顶点加入堆中。
4. 将堆中的最小元素弹出，添加到生成树中，并标记为已连接。更新该顶点的所有邻居顶点的 key 值。
5. 重复第四步，直到所有顶点都已经被添加到生成树中。

这个算法的时间复杂度为 $O(|E|\log |V|)$，其中 $|E|$ 和 $|V|$ 分别是图的边数和顶点数。以下是 Prim's Algorithm 的 Python 代码实现：

import heapq

def prim(graph):
    # Initialize variables
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    key = [float("inf")] * n
    parent = [None] * n
    heap = []

    # Start with vertex 0
    key[0] = 0
    heapq.heappush(heap, (key[0], 0))

    # Loop until all vertices have been visited
    while heap:
        # Pop the vertex with the minimum key value
        _, u = heapq.heappop(heap)

        # Skip if vertex has been visited before
        if visited[u]:
            continue

        # Mark vertex as visited
        visited[u] = True

        # Loop over all neighboring vertices and update their key values
        for v, weight in graph[u]:
            if not visited[v] and weight < key[v]:
                key[v] = weight
                parent[v] = u
                heapq.heappush(heap, (key[v], v))

    # Return the minimum spanning tree
    return [(parent[v], v, weight) for v, weight in enumerate(key) if parent[v] is not None]

其中，graph 表示图的邻接表表示形式，它是一个列表，其中每个元素都是一个列表，表示一个顶点的邻居顶点及其边的权重。例如，graph[0] 表示顶点 0 的邻居顶点及其边的权重的列表。最后返回的结果是一个列表，其中每个元素由三个值构成：两个顶点和它们之间的边的权重。这个列表就是最小生成树的所有边。

以上就是解决问题 27 的详细介绍和代码实现，希望对程序员的理解有所帮助。