门 | GATE-CS-2017（套装1）|问题 5

这是一道关于图论的算法题。给定一个带权有向图，需要找出所有的点对之间的最短路径。这个问题可以用多种算法解决，其中 Floyd 算法是其中的一种。

算法介绍

Floyd 算法使用动态规划的思想，先计算出从每个点直接到达其他点的最短路径，然后不断更新已有的最短路径，直到找到所有点对之间的最短路径。

具体的算法步骤如下：

1. 初始化距离矩阵 $d$，其中 $d[i][j]$ 表示从点 $i$ 到点 $j$ 的最短路径。如果 $i$ 和 $j$ 之间有边相连，则 $d[i][j]$ 的值为这条边的权重，否则 $d[i][j]$ 的值为无穷大。

2. 在距离矩阵 $d$ 上进行动态规划，通过 $k$ 来将点集分成两部分，其中一个部分包含了从 $1$ 到 $k$ 的所有中间节点，另一个部分包含了从 $k+1$ 到 $n$ 的所有节点。然后按照以下公式更新距离矩阵。

   $$ d[i][j] = \min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]) $$

3. 根据距离矩阵 $d$ 得出每个点对之间的最短路径。

代码实现

下面是使用 Python 实现 Floyd 算法的示例代码：

def floyd(graph):
    n = len(graph)
    d = [[float('inf')] * n for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == j:
                d[i][j] = 0
            elif graph[i][j]:
                d[i][j] = graph[i][j]
    
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])
    
    return d

这个函数接受一个邻接矩阵表示的图作为参数，返回距离矩阵。其中 graph[i][j] 表示从点 $i$ 到点 $j$ 之间是否有一条边，有则为边的权重，否则为 0。

总结

Floyd 算法是一种经典的动态规划算法，可以用于解决所有点对之间的最短路径问题。虽然其时间复杂度较高，但是对于规模适中的图效果不错。在实际应用中，Floyd 算法也经常用于解决路由算法等问题。