搜索按行和按列排序的矩阵

在搜索一个按行和按列排序的矩阵时，可以采用类似二分查找的方法来进行搜索。具体而言，我们可以选择从矩阵的左下角或者右上角开始，在每一步减少一行或者一列的搜索范围。

按行排序的矩阵

假设我们要搜索一个按行排序的矩阵，也就是说，每一行的元素都按照从小到大的顺序排列。我们可以从矩阵的左下角开始进行搜索。当前位置的元素 A[i][j] 有三种可能的情况：

• A[i][j] == target：找到目标元素，返回 true。
• A[i][j] < target：由于当前元素 A[i][j] 已经是当前行最大的元素，因此我们应该将搜索范围缩小到 i+1 行。
• A[i][j] > target：由于当前元素 A[i][j] 已经是当前列最小的元素，因此我们应该将搜索范围缩小到 j-1 列。

不断重复上述过程，直到找到目标元素或者搜索范围为空。

def search_matrix(matrix, target):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    i, j = m - 1, 0
    while i >= 0 and j < n:
        if matrix[i][j] == target:
            return True
        elif matrix[i][j] < target:
            j += 1
        else:
            i -= 1
    return False

按列排序的矩阵

如果矩阵按列排序而不是按行排序，我们可以从矩阵的右上角开始进行搜索。当前位置的元素 A[i][j] 有三种可能的情况：

• A[i][j] == target：找到目标元素，返回 true。
• A[i][j] < target：由于当前元素 A[i][j] 已经是当前列最小的元素，因此我们应该将搜索范围缩小到 j+1 列。
• A[i][j] > target：由于当前元素 A[i][j] 已经是当前行最大的元素，因此我们应该将搜索范围缩小到 i-1 行。

def search_matrix(matrix, target):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    i, j = 0, n - 1
    while i < m and j >= 0:
        if matrix[i][j] == target:
            return True
        elif matrix[i][j] < target:
            i += 1
        else:
            j -= 1
    return False

以上两个算法的时间复杂度均为 $O(m+n)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为矩阵的行数和列数。