在按行和按列排序的矩阵中计数零

问题描述

给定一个 $m \times n$ 的矩阵，其中的元素均按非降序排列。请统计矩阵中的零的个数。

示例

输入：$m=3, n=3, matrix=[[0, 0, 0], [0, 1, 2], [0, 2, 2]]$

输出：$3$

解题思路

由于矩阵中的元素均按非降序排列，我们可以先按行逐一扫描每一行，然后再按列逐一扫描每一列，将每一行和每一列中的零的数量相加即为最终的结果。

具体来说，可以从矩阵的右上角开始扫描，若当前位置的元素为零，则将结果加上当前位置所在行剩余的元素个数（因为该行右边的所有元素都比当前元素大），然后将指针向下移动一格继续扫描；若当前位置的元素不为零，则将指针向左移动一格继续扫描。当指针移出矩阵的左侧或者下侧时，扫描结束，此时累计的数量即为矩阵中零的个数。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(m+n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

代码实现

def count_zeros(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    i, j = 0, n - 1
    cnt = 0
    while i < m and j >= 0:
        if matrix[i][j] == 0:
            cnt += j + 1
            i += 1
        else:
            j -= 1
    return cnt

总结

本题是一道比较简单的题目，适合算法初学者练习。通过本题可以让大家巩固矩阵的基本操作，提高编码能力和思维能力。