计算机图形复合转换

计算机图形复合转换是指在图形学中，将一个物体通过组合几种基本的变换（平移、旋转、缩放）来实现一个复合变换的过程。

基本变换

平移

平移是指将物体的位置沿着某个方向移动一定的距离，其变换矩阵为：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ Tx & Ty & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $Tx$ 和 $Ty$ 分别表示沿着 $x$ 和 $y$ 轴的平移距离。

旋转

旋转是指将物体沿着某个中心点进行旋转，其变换矩阵为：

$$ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $\theta$ 表示旋转角度。

缩放

缩放是指将物体按照某个比例进行缩放，其变换矩阵为：

$$ \begin{bmatrix} Sx & 0 & 0 \ 0 & Sy & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $Sx$ 和 $Sy$ 分别表示在 $x$ 和 $y$ 方向上的缩放比例。

复合变换

根据矩阵乘法的结合律，可以将以上三种基本变换进行组合得到复合变换矩阵：

$$ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Sx & 0 & 0 \ 0 & Sy & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ Tx & Ty & 1 \end{bmatrix} $$

得到的矩阵就是从左往右依次进行旋转、缩放、平移的复合变换矩阵。

实现方式

在计算机图形学中，通常使用矩阵来表示变换，同时引入齐次坐标系的概念。具体实现通常是通过将变换矩阵与坐标向量进行乘法运算来进行变换。例如，对于一个点 $P$，进行复合变换时，可以用以下代码片段实现：

import numpy as np

def homogeneous_transform(P, T, R, S):
    # 转换为齐次坐标系
    P = np.array([P[0], P[1], 1])

    # 构造变换矩阵
    M = np.array([
        [np.cos(R), -np.sin(R), 0],
        [np.sin(R), np.cos(R), 0],
        [0, 0, 1]
    ]) @ np.array([
        [S, 0, 0],
        [0, S, 0],
        [0, 0, 1]
    ]) @ np.array([
        [1, 0, T[0]],
        [0, 1, T[1]],
        [0, 0, 1]
    ])

    # 进行变换
    P = M @ P

    # 转换回笛卡尔坐标系
    P = P[:2] / P[2]

    return P

其中，$P$ 表示目标点的坐标，$T$ 表示平移向量，$R$ 表示旋转角度，$S$ 表示缩放比例。函数返回变换后的坐标。